Travail et puissance d'une force

  Travail et puissance d’une force I. Notion de travail d’une force On dit qu'une force appliquée à un corps travaille , si son poin...

 

Travail et puissance d’une force

I. Notion de travail d’une force

On dit qu'une force appliquée à un corps travaille, si son point d'action se déplace, et a pour effets de modifier le mouvement du corps,  modifier son altitude, le déformer, modifier sa température.

Exemples :

II. Travail d’une force ou d’un ensemble de forces

1.        Notion de force : On modélise une action mécanique par une grandeur vectorielle appelée vecteur force , notée  et caractérisée par :

Son point d’application, sa direction, son sens et son intensité( en N) dans (S.I)

2.       Mouvement de translation :

2.1.             
Mouvement de translation rectiligne :

La trajectoire de chaque point su solide est une droite.

Exemple : mouvement d’un ascenseur, ou téléphérique sur câble droit

2.2.              Mouvement de translation curviligne :

La trajectoire de chaque point du solide est une courbe.

Exemple : mouvement d’un téléphérique sur câble Courbé

2.3.              Mouvement de translation circulaire :

Le mouvement de chaque point du solide est un cercle

Exemple : cabines suspendues à une grande roue

      3.Travail d’une force constante exercée sur un corps solide en translation .

           3.1. Force constante :

Une force est constante lorsque sa valeur, sa direction et son sens ne varient pas au cours du temps.

3.2. Travail d’une force constante exercée sur un corps solide en translation rectiligne :

a. Définition :

On considère un corps solide S en translation rectiligne, soumis a une force constante. On appelle travail de la force F, dont le point d'application se déplace d’une position A a une autre position B, le produit scalaire du vecteur force Fet de vecteur de déplacement AB, ce travail est noté :

L’unité du travail dans le (S.I) est le joule(J). F ( en N),  AB (en m)   (en ° ou rad)

b. Travail moteur, travail résistant et travail nul :

Selon la valeur de l’angle α, le travail peut être positif, négatif ou nul.

4 . Travail d’une force constante exercée sur un corps solide en translation curviligne :

Lors d’une translation curviligne, le travail d’une force lorsque son point d’application se déplace d’un point 𝑨 à un point 𝑩, s’exprime par la relation :      

Le Travail totale de la force lorsque son point d’application se déplace d’un point 𝑨 à un point 𝑩 est la somme des travaux partiels :

Lors d’une translation curviligne, le travail d’une force lorsque son point d’application se déplace d’un point 𝑨 à un point 𝑩, s’exprime par la relation :

Remarque :

 Le travail d’une force constante ne dépend pas de la trajectoire de son point d’application, mais seulement à sa position initiale et finale.

5. Travail d’un ensemble de forces constantes exercées sur un corps en translation :

un corps solide en translation (rectiligne ou curviligne) est soumis à un ensemble de forces constantes  , dont les points d’application se déplacent successivement de A₁ à B₁ , de A₂ à B₂ ,......de A_n à B_n .

Le solide est en translation , donc :

Le travail fourni par ces forces au cours de ces déplacement est :

III. Travail du poids d’un corps solide

Lorsqu’un corps se déplace près du sol , son poids peut être considéré comme force constante . Cette force est appliquée au centre G du corps solide.

L’expression du travail du poids au cours du déplacement de centre de gravité de G_A à G_B s’écrit alors :

IV. Travail d’une force de momet constant exercée sur un corps solide en rotation autour d’un axe fixe

1.Rappel

L’expression du moment d’une force par rapport à un axe de rotation ∆ perpendiculaire à sa direction est :  

    F :intensité de la force en (N), d la distance séparant la force de l’axe de rotation ∆.

 2. Expression du travail d’une force à moment constant : 

Pour une faible rotation δθ, le point d’application M de la force  parcourt un petit arc  MM' assimilé à un segment de longueur 𝛿l. Au cours de ce déplacement, la force peut être aussi considérée comme constante.

Le travail effectue sur ce petit déplacement est dit travail élémentaire et s’écrit

      

Puisque le point M décrit une trajectoire circulaire :    

D’après la figure on a :  

Le Travail totale de la force  est la somme des travaux élémentaires :

Le moment est constant et   ∑𝜹𝜃=ϴ  donc  :

3.       Travail d’un couple de moment constant :

moment du couple par rapport à l’axe de rotation (∆)

V. Puissance d’une force ou d’un ensemble des forces

1)      Puissance moyenne.

            La puissance moyenne P_m d’une force est le quotient du travail qu’elle effectue entre les points A et B par la durée ∆t correspondante :

L’unité de la puissance dans SI est le Watt (W), W𝐀𝐁 en J et 𝛥t en s

2)       Puissance instantanée d’une force constante ou d’un ensemble de force constantes exercées sur un corps solide en translation.

La puissance instantanée P d’une force constante, exercée sur un corps solide en translation, est le quotient du travail élémentaire δW sur la durée δt :      

 

3)       Puissance instantanée d’une force de moment constante appliquée à un solide en rotation autour d’un axe fixe

Exercices corrigés

Exercice1:

Calculer le travail de la force   dans les cas suivants en précisant sa nature, travail moteur, travail résistant ou travail nul. On donne  F=10N et AB=30cm

Correction exercice1

W> 0: travail moteur  ; W<0: travail résistant

Exercice2:

Calculer le travail du poids dans les cas suivants. On donne  m=100g et g=10N/Kg

                        (3)                                                                 (2)                                            (1)

Correction de l'exercice2

Exercice3:

Un morceau de savon de masse 𝑚 = 200𝑔 glisse sans frottement sur un plan incliné d’un angle de 30° par rapport à l’horizontale. Donnée : 𝑔 = 9,8𝑁. 𝑘𝑔⁻¹

 1- Quelles sont les forces exercées sue le morceau de savon. 
2- Calculer le travail de ces forces pour un déplacement égal à 𝐿 = 1,0 𝑚. 

3- Calculer la puissance moyenne du travail du poids si la durée de trajet est égale à ∆𝑡 = 1,5𝑠.

Correction de l'exercice3

2.Le travail effectué pour un déplacement L=1,0m:

Exercice4

Un solide (S) de masse m=1Kg=1Kg se déplace sur un plan horizontal AB=10 m, d'une vitesse constante v=2(m/s) ,sous l'effet d'une force de traction d'intensité F=5N faisant un angle α=20 avec l'horizontal.

le mouvement s'effectue avec frottements , on modélise les forces de frottements par une force unique d'intensité notée f qui demeure constante lors du mouvement.
 On prend g=10(N/Kg).

1. Représenter (sans échelle) sur la figure, les vecteurs des forces extérieures.

2. Établir l'expression du travail associé à la réaction du plan R⃗ en fonction des données.

3. Donner l'expression puis calculer le travail W_AB(F⃗)de la force de traction de A à B

4. En déduire l'intensité de la force de frottement de A à B.

5. Calculer la puissance P(R⃗)de la force de réaction du plan lors du déplacement AB.

6. En déduire l'angle 𝜑 que fait la force R⃗ de réaction avec la normale.

7. Montrer l'égalité : tan(α)=A−1/K ​ , avec K=tan(𝜑) représente le coefficient de frottement, donner l'expression de A , discuter l'intérêt majeur de cette expression.

Correction de l'exercice4

1.Représentations des forces appliquées au solide (S): le corps est soumis à 3 forces, son poids, la force de traction et la réaction du plan avec: 

2.expression du travail associé à la réaction du plan:

3.Expression et valeur de la force de traction:

W(F)=5.10.cos20°=46,98≃ 47J

4. L'intensité de la force de frottement: 

   

5.l'intensité de la force de frottement :

6.l'angle $\psi$𝛗 que fait la force $\vec{R}$avec la normale:

Exercice5

On utilise un moteur pour tirer un corps avec une vitesse constante sur un plan horizontal avec une corde qui forme un angle α = 30° avec l'horizontale.

1. Lors du fonctionnement du moteur avec une puissance P=400W, la force exercée par le moteur a pour intensité F=140N. Déterminer la vitesse du corps.

2. Déterminer l'intensité de la force exercée par le plan de contact sur le corps.

3. Le corps se déplace du plan horizontal à un autre plan incliné d'un angle β =15° Par rapport à l'horizontale. 

Quelle est la puissance supplémentaire que le moteur doit fournir pour qu'il garde son mouvement précédent avec la même direction de la force.?

On donne : g=9,81 N/kg et m=20kg 

Correction de l'exercice 5

1. 1.La puissance est donnée par la formule $$P = F \cdot v \cdot \cos(\alpha)$$$$P=F\cdot v\cdot \cos (\alpha )$$. avec, $$P = 400W$$$$P=400W$$, $$F = 140N$$$$F=140N$$, et $$\alpha = 30^{\circ}$$$$\alpha =30^{\circ }$$
2.  $$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. P=F⋅v⋅cos(α)  v=P/Fcosα
4. 
   
5. $$v = \frac{400}{140 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{400 \cdot 2}{140 \sqrt{3}} = \frac{800}{140 \sqrt{3}}$$$$v=\frac{400}{140\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{400\cdot 2}{140\sqrt{3}}=\frac{800}{140\sqrt{3}}$$
6.  $$v \approx \frac{800}{242.49} \approx 3.30 \, m/s$$$$v\approx \frac{800}{242.49}\approx 3.30m/s$$
7. 
   

1. 
   
   
   
   

1. in(\alpha)$$

Exercice6

Un hélicoptère assure, en montagne, le transport de pièces de pylônes métalliques. Il parcourt, en ligne droite, à la vitesse v = 144 km. h⁻¹, un trajet entre la vallée et un promontoire situé 1 200 m plus haut. La charge transportée est de 1,5 tonne, et la durée du parcours 45 s.

1. Quel est le travail effectué par le poids de la charge transportée, pendant l’ascension ?

2. Quelle puissance le moteur de l’hélicoptère doit-il développer sachant que l’appareil a une masse égale à 4 tonnes ?

On donne: Intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg⁻¹.

Correction de l'exercice 6:

1.  1.Le poids de la charge transportée:  $$P = m \times g = 1500 \, kg \times 9,8 \, N/kg = 14700 \, N$$$$P=m\times g=1500kg\times 9,8N/kg=14700N$$
2. Le travail effectué par le poids pendant l'ascension:$$W = P \times h = 14700 \, N \times 1200 \, m = 17640000 \, J$$$$W=-P\times h=-14700N\times 1200m=-17640000J$$

       W=-17640000 J ( travail résistant)

2. Puissance dévoloppée par le moteur

2.  Calculons la masse totale de l'hélicoptère et de la charge: $$M = 4000 \, kg + 1500 \, kg = 5500 \, kg$$$$M=4000kg+1500kg=5500kg$$
3. Calculer le poids total: $$P_{total} = M \times g = 5500 \, kg \times 9,8 \, N/kg = 53900 \, N$$$$P_{total}=M\times g=5500kg\times 9,8N/kg=53900N$$
4. Calculer le travail effectué contre la gravité pendant l'ascension par la force du moteur est :
5. W'=F.h= Ptotale.h car selon le principe d'inertie (V=constanhte, donc F=Ptotale)
   $$W = P_{total} \times h = 53900 \, N \times 1200 \, m = 64680000 \, J$$$$W\text{'}=P_{total}\times h=53900N\times 1200m=64680000J$$
6. Calculons  la puissance développée par le moteur: $$P = \frac{W}{t} = \frac{64680000 \, J}{45 \, s} \approx 1430400 \, W$$$$P=\frac{W}{t}=\frac{64680000J}{45s}\approx 1430400W$$

Exercice7

un skieur et son équipement, de masse m=80Kg, remonte une pente rectiligne, inclinée d'un angle α=20°, grâce à un téléski. La force de frottement exercée par la neige sur les skis a la même direction que la vitesse et son sens est opposé au mouvement. Sa valeur est f=30N. Le téléski tire le skieur et son équipement à vitesse constante sur un distance AB=L=30 cm

1) Faire l'inventaire des forces qui s'appliquent au  système {skieur et équipement} et les représenter sur le schéma.                                
2) Déterminer le travail du poids du système lors de ce déplacement.
3) Déterminer le travail de la force de frottement lors de ce déplacement.
4) La tension du câble qui tire le système fait un angle = 60° avec la ligne de plus grande pente. Déterminer le travail de la tension du câble lors de ce déplacement. Et déduire la tension du câble.

Correction de l'exercice6

1. L’inventaire des forces :

2. Travail du poids:

3. Travail des forces de frottements :

4. travail de la tension du cable:

Le skieur et son équipement à un mouvement rectiligne uniforme (G du système à une vitesse constante) , donc d’après le principe d’inertie, la somme des forces est nul :

 Exercice 8:

Un palet autoporteur P, de masse M = 100 g, glisse sans frottement à l’intérieur d’une auge cylindrique de rayon R = 1 m, d’axe horizontal O.

1. Recenser les forces qui s’appliquent au palet

2. Calculer leur travail quand ce dernier glisse de la position P₁ (α = 30°) à la position P₂
(α= 0).

Donnée:  Intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg⁻¹.

Correction de l'exercice8:

1. Le palet est soumis à deux forces: son poids et la réaction du support de l'auge

2. Calculons le travail  de chaque force, quand ce dernier glisse de la position P₁ (α = 30°) à la position P₂ (α= 0):

$f$