décroissance radioactive, activité nucléaire

Décroissance radioactive

1.Stabilité et instabilité des noyaux

1.1.Le noyau de l’atome

a. Composition :

Le noyau d’un atome est constitué de particules :protons et neutrons, appelées nucléons. Le nombre de nucléons du noyau est noté A et s’appelle nombre de masse. Le nombre de protons du noyau est noté Z et s’appelle nombre de charge (ou numéro atomique).
Caractéristiques de nucléons(protons et neutrons)

Nucléon	Proton	Neutron
Nombre	Z	N=A-Z
Masse(Kg)	1,673.10-27	1,675.10-27
Charge électrique (C)	1,602.10-19	0

b. Notation d’un noyau :
Le noyau d’un atome est noté :

 X représente le symbole de l’élément chimique considéré

1.2. Les isotopes :

Des noyaux isotopes sont des noyaux ayant le même nombre de charge Z (même nombre de protons, appartiennent au même élément chimique),mais pas le même nombre de nucléons A (pas le même nombre de neutrons)

1.3. Diagramme (N,Z) de Segré

-Sur le diagramme (N,Z) de Segré, on repère un noyau  par une case :le nombre de protons Z est porté en abscisses et le nombre de neutrons N=A-Z est porté en ordonnée.
-Certains noyaux gardent indéfiniment la même composition , ce sont les noyaux stables, et sont situés dans un domaine appelé vallée de stabilité. Pour des valeurs faibles de Z
(Zㄑ20 ),les noyaux stables se situent au voisinage de la droite N=Z,ils comportent autant de protons que de neutrons(A=2Z). 

Exemples :

-Les noyaux situés hors de la vallée de stabilité sont
instables. Il se transformer spontanément en un noyau
différent avec émission d’un « rayonnement »,on dit
qu’il est radioactif.

2.La radioactivité :

2.1.Noyaux radioactifs

Un noyau radioactif est un noyau instable (noyau père), qui subira spontanément une désintégration et donner un noyau différent (noyau fils) avec émission d’un rayonnement(particule).
Remarque :le mot nucléide désigne le même nombre de charge Z et le même nombre de masse A. Un radionucléide est nucléide radioactif.

2.2. Lois de conservation (Lois de Soddy)
Une désintégration (transformation)nucléaire obéit
aux deux lois suivantes :

·         Loi de conservation du nombre de charge Z

·         Loi de conservation du nombre de nucléons (masse) A

2.2.Les différents types de radioactivité

Emission γ : c’est la perte de l’énergie excédentaire d’un noyau sous la forme d’une onde électromagnétique de très haute fréquence (ν> 10¹⁸Hz) 

Exemples : lors d’une désintégration d’un noyau, le noyau fils se trouve généralement dans un état excité (avec un surplus d’énergie).Il se désexcite (revient à l’état d’énergie fondamentale) en émettant un rayonnement γ.

3.Loi de décroissance radioactive 

3.1. caractère aléatoire d’une désintégration radioactive :

La désintégration radioactive d’une population de noyaux instables a un caractère aléatoire. Chaque noyau , à un instant donné, peut se désintégrer ou continuer d’exister.

3.2.Activité d’une source radioactive :

L’activité a d’une source radioactive est le nombre moyen de désintégrations par seconde.

3.3.La constante radioactive :

La variation du nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon est 🛆N=N(t+🛆t) - N(t)=-n
Le nombre de désintégrations n= - ΔN pour une durée Δt est proportionnel au nombre N de noyaux présents dans l’échantillon. Donc  

n= - ΔN nombre de désintégrations pendant Δt.

a= λ.N

λ : constante radioactive elle représente la probabilité de désintégration, par unité de temps, d'un noyau radioactif. C’est est une propriété physique du nucléide radioactif considéré

Pour des intervalles très petits (Δt⟶0), on écrit :

N0 le nombre de noyaux radioactifs à l’instant t=0

4. constante de temps et demi-vie

4.1. constate de temps ζ :

La demi-vie t_1/2 d’un type de noyau radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux est 

5.Application à la datation :

5.1.Datation d’un objet

Pour dater un objet (éléments du système solaire, roches, ossements, nappe d’eau emprisonnée) on mesure l’activité des éléments radioactifs qu’il contient. Divers noyaux radioactifs sont utilisés selon l’ordre de grandeur de l’âge à mesurer .La demi-vie du type de noyau utilisé doit etre au moins dix fois plus grande que l’âge à mesurer.

Méthode	Carbone 14	Potassium-argon	Rubidium-strontium	Uranium-plomb
Validité	40 000 ans	Milliard d’années	Milliard d’années	Milliard d’années

Méthodes de datation et leurs domaines de validité

5.2.Datation d’un échantillon animal ou végétal

Le carbone 14 est produit en permanence dans la haute atmosphère par des réactions entre des noyaux d’azote et des neutrons cosmiques selon l’équation de la réaction nucléaire :
                                                

L’élément carbone comporte principalement deux isotopes  stable et  radioactif, émetteur de  selon l’équation de désintégration :

4,0.10^-2 Bq. L’activité d’un gramme de charbon récent est 0,23Bq.Quel est l’âge du foyer préhistorique ? On donne t_1/2=55570 ans

Les organismes vivants(végétaux, animaux) échangent à chaque instant du carbone avec l’atmosphère(respiration, photosynthèse), ainsi qu’avec des composés organiques(nutrition).

tant que l’organisme est vivant, les échanges avec le milieu extérieur maintiennent constante sa teneur en carbone 14, égale à celle de l’atmosphère. Lorsque l’organisme meurt, le carbone 14 n’est plus renouvelé et se désintègre selon la loi de décroissance radioactive : 

Application1 :Datation d'un foyer préhistorique:
L’activité d’un gramme de charbon ancien, trouvé dans un foyer préhistorique est 4,0.10^-2 Bq. L’activité d’un gramme de charbon récent est 0,23Bq.Quel est l’âge du foyer préhistorique ? On donne t_1/2=55570 ans

application2:Loi de décroissance radoactive

Le polonium 210 est radioactif de type ∝ ,sa demi-vie est de 138 jours.

1.déterminer sa constante radioactive.
2.La valeur de l'activité d'un échantillon de polonium 210 à l'insatnt t=0 est a₀=7,4.10¹º Bq.
2.1.Quel est ,à cette date le nombre de désintégrations par seconde?
2.2.Calculer le nombre moyen de noyaux radioactifs non désintégrés à cette date.
2.3.Calculer la masse de polonium 210 contenue dans cette échantillon.
3.1.Ecrire l'éxpression de la 'activité en fonction du temps
3.2.Au bout de combien de temps l'activité est-elle divisée par2? par 4? par8?
4.Une mesure d'activité dure ∆t= 20s.

4.1.Calculer le rapport :a(t)/a(t+Δt).
4.2.Peut-on considèrer que l'activité reste quasiment constante sur toute la durée d'une mesure?

Données:  M(Po)=210g.mol⁻¹ ; Constante d'avoogadro:𝓝A=6,02.10²³

Corrigé

1. La onstante radioative: λ= ln2/t1/2=ln2/(138.24.3600)=5,81.10⁻⁸ s⁻¹

(1jour=24h ; 1h=3600s)

2.1. le nombre de désintégrations par seconde à la date t=0 est égale à la valeur de l'activité exprimée en Bq. donc ona 7,4.10¹º désintégrations par seconde
2.2. On a a(t) = λ.N(t) ⇒ a₀= λ N₀ ⇒ 
N₀=a₀/λ=7,4.10¹º/5,81.10⁻⁸=1,27.10¹⁸ noyaux.
2.3. La masse de polonium 210 contenue dans cette échantillon:
La quantité de matière est n0=m0/M=N0/NA 
m0=M.N0/NA  =210.1,27.10¹⁸/6,02.10²³=4,4.10⁻⁴g
 3.1.L'éxpression de la 'activité en fonction du temps: a(t)=a₀ .e^-λt 
 3.2. a(t)=a₀/2 ⇒a₀ .e^-λt  = a₀/2 ⇒ e^-λt =1/2     ⇒ - λ.t=ln1/2 ⇒ - λ.t=-ln2
⇒t=ln2/λ)=t1/2

a(t)=a0/4 ⇒ a₀ .e^-λt =a₀/4 ⇒ e^-λt=    ¹/4 ⇒^{-λt=ln(1/4)=-ln4=-ln2²=-2ln2}
⇒t=2ln2/λ=2.t1/2

      a(t)=a0/8 ⇒ a₀ .e^-λt =a₀/8 ⇒ e^-λt= ¹/8 
⇒   ^{-λt=ln(1/8)=-ln4=-ln2³=-3ln2}
⇒   t=3ln2/λ=3.t1/2

de façon générale: a(n.t)=aₒ/2ⁿ  

4.1. a(t+Δt)=a0e^-λ(t+△t)

a(t+Δt)=a₀. e^-λ△t.e^-λt

a(t+Δt)=a(t)e^-λ△t

^a(t)/a(t+Δt)=e^{λ △t       a(t)/}a(t+Δt)=exp(5,81.10⁻⁸.20)=1,0000012

4.1. Oui l'activité reste prtiquement constante à 1,2.10⁻⁴ ％

application3:Etude de l'activité du radium 222.

Données: Constante radioactive du radium 222 :λ= 1,35 10^-11 s^-1 ; NA = 6,02 1023 mol^-1 ; M(Ra) = 226 g/mol.

1.Donner la composition du noyau de radium

2.Le radium 226 est un émetteur α. Il conduit au radon de symbole Rn.
Ecrire l'équation de la réaction de désintégration et préciser les lois de conservation utilisées.

3.On considère un échantillon de ce nucléide contenant à la date t=0,  
N₀ = 3,33 10¹⁴ noyaux de radium. Calculer la masse initiale de cet échantillon de radium 226 .

4.Calculer le pourcentage de noyaux restants à la date t=10 ans. Pourquoi peut-on dire que l'activité due au radium 226  ne varie pratiquement pas pendant une période de 10 ans ?

Corrigé

1. N=1.88 protons et 226-88 =138 neutrons

2.

3. n =N₀/NA = 3,33 10¹⁴ / 6,02 10²³ =5,53 10^-10 mol

m = n.M = 5,53 10^-10 *226 =1,25 10^-7 g.

^4. 10 ans = 10*365*24*3600 s = 3,154 10⁸ s.

λ. t= 1,35 10^-11 .3,154 10⁸ =4,26 10^-3.

 exp(-4,26.10^-3) = 0,9958.

Exercice1:Désintégration du césium

Des sources scellées de césium 137 sont utilisées dans l'industrie, principalement pour desmesures de densité et l'étalonnage d'appareillage, mesures d'épaisseur et de niveau. De même,elles sont utilisées dans les laboratoires de physique nucléaire.Cet exercice vise l'étude d’une utilisation du césium

.

Données :

1 1.Le césium radioactif , donne en se désintégrant le noyau de baryum 
et une particule. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes :

A Le noyau du césium est constitué de 82 protons et de 137 neutrons

B Tous les isotopes de césium possèdent 55 protons

C L’équation de désintégration du Cs s’écrit :

D La désintégration du césium est de type β⁺

2. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie.

La valeur de l'énergie de liaison ELdu noyau vaut :

A EL=1,05.103MeV      B EL=1,13.103MeV    C EL=1,65.103 MeV     D EL= 1,98.103 MeV

 3. En 2001, un laboratoire a reçu un échantillon contenant du césium d'activité initiale a0. On désigne par a l'activité radioactive de l'échantillon à l'instant t.
3.1. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie. 

L'activité a d'un échantillon radioactif peut s'exprimer par la relation : 

A lna=lna0+λt    B lna=lna0-λt    C lna=-lna0+λt D lna= -lna0+λt

3.2. La courbe ci-contre représente les variations de lna en fonction du temps (lna = f(t)). 

3.2.1. Déterminer graphiquement :

•   la valeur de la constante radioactive en unité (an-1) ;
• la valeur de a0 en unité (Bq) .

3.2.2. Cet échantillon de césium n'est plus utilisable lorsque son activité a est inférieure à 20% de sa valeur initiale (a < 20%.a0). 

Recopier. sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie.
L'échantillon ne sera plus utilisable à partir de l'année : 

A 2052     B 2042             C. 2025                      D 2022 

Correction exercice1:

1)    A-Faux                B- Vrai                C- faux                D-vrai

2) B

El= (Zmp+(A-Z)mn -m(noyau))х C²= [55 mp + (137 − 55)mn − m( Cs )]. c² =

= [55 mp .c² + (137 − 55)mn .c² − m( Cs ).c² ]=51605,47 + 77044,48 − 127522,35 = 1127,6 Mev

El( Cs ) ≈1128Mev ≈1,13.10³ Mev

3.1)B

3.2.1) Déterminons la valeur de λ graphiquement:

lna=f't) est une fonction affine d'équation y=ax+b /:

a(t) = a0. e-λt⟹ lna = ln(a0e−λ.t) ⟹ lna(t) = lna0 + ln e−λ.t ⟹ lna(t) = lna0 − λ.t

-λ représente le coefficient directeur de la droite. choisissons deux points M1 et M2 de la droie:

M1(0; 20,20) m2( 160 ; 15,15)

-λ =(lna2 − lna1)/(t2 − t1)=(20,2 − 15,15)/(0 − 160)= −0,03156 an⁻¹ λ = 0,03156 an⁻¹ ⟺ λ ≈ 3,2.10⁻² an⁻¹

Graphiquement: lna0 = 20,2 ⟹ a0 = e²⁰,² ⟹ a0 = 5,93.10⁸Bq

3.2.2)L'échantillon ne sera plus utilisable à partir de l'année :  A

a < 20% a0 ⟹ a0. e−λ.t < 0,2 a0 ⟹ e−λ.t < 0,2 ⟹ −λ.t < ln(0,2) ⟹ t > −ln(0,2)/λ t > −ln(0,2)/(0,03156 )= 50,996 ans ≈ 51 ans L'échantillon ne sera plus utilisable à partir de l'année : 2021+51=2052 (réponse A)

Exercice2:

La datation par la méthode Uranium-Plomb est une technique ancienne, qui permet la détermination de l'âge approximatif de la Terre.Le noyau d'uranium

naturellement radioactif, se transforme en un noyau de plomb en un noyau de plomb stable, après une série de désintégrations successives, parmi lesquelles la désintégration en noyau de thorium et la désintégration en noyau de protactinium .

1. Recopier sur votre copie le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie parmi :

2. L'équation   résume la série de désintégrations successives du noyau   jusqu'au noyau ZAPb.

2.1. En appliquant les lois de conservation, trouver les valeurs de A et Z.

2.2. On considère que l'âge de chaque roche minérale ancienne est celui de la Terre qu'on note tT .

La figure ci-contre représente la courbe de décroissance radioactive des noyaux d'uranium 238 dans un échantillon de roche minérale ancienne contenant UN(0) noyaux d'uranium à l’instant t0=0 .

Pour les questions suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie parmi :

2.2.1. La valeur de UN(0) est :

2.2.2. La demi-vie t1/2 de l'uranium 238 est :

2.2.3. La mesure du nombre de noyaux de plomb, dans la roche minérale ancienne, à la date tT , a donné la valeur NPb (tT )=  2,5.1012 . L'âge approximatif tT de la Terre est :

Correction exercice-2

1. A

2.1- 

les lois de Soddy:238=A+6X(-1)+8X4 A=203

92=Z+6X(-1) + 8X2 Z=82

2.2.1- d  (voir figure Nu(o) )  2.2.2- c       correspond à t1/2=4,5.10⁹ ans

 2.2.3- a

L'age de la terre correspond à cette v

donc :

Exercice3: La radioactivité et la datatio géologique

Lors de l’éruption d’un volcan il se forme des roches volcaniques qui contiennent

parfois du potassium radioactif, sa désintégration spontanée

conduit à la formation de l’argon 

1- Donner la composition du noyau du potassium  

2- Ecrire l’équation de la désintégration du noyau du potassium  en précisant la nature de la particule émise.

3-Déterminer λ la constante radioactive du potassium , sachant que le temps de

demi – vie de   est t_1/2=1,3.10⁹années

4- Un échantillon de roches volcaniques formées à un instant considéré comme origine des temps (t=0) contient N₀ noyaux du potassium  et ne contient pas d’argon .

L’analyse d’un même échantillon de ces roches à un instant t montre qu’il contient

N_K=4,49.10¹⁹noyaux de potassium  et N_Ar=1,29.10²⁷noyauxd’argon

 , N₀=N_K+N_Ar. Déterminer la valeur de t l’âge des roches volcanique de l’échantillon.

Correction de l'exercice3

1.Composition du noyau de potassium: 19 protons et 21 neutrons.

Nombre de protons :Z=19 et nombre de neutrons N=A-Z=40-19=21

2.L’équation de la désintégration du noyau du potassium-40 s’écrit:

Selon les lois de Soddy:40=40+A   (conservation du nombre de nucléons)

19=18+Z ( conservation de charge)

on déduit : A=0 et Z=1 , l’équation de désintégration s’écrit donc: 

La particule émise est un positron (radioactivité 𝛃⁺)

3. Valeur de la constante radioactive du potassium-40:

4.La valeur de t l’âge des roches volcanique de l’échantillon:

Selon la loi de décroissance radioactive, l’expression du nombre de noyaux de potassium-40 

Exercice-4: La radioactivité au service de la médecine.

La médecine est l’un des domaines qui a connu l’application de la radioactivité en utilisant

des noyaux radioactive pour diagnostiquer et traité des maladies, l’un des noyaux utilisé

est le rhénium 186 dans le but de soulager les malades atteints de polyarthrite rhumatoïde.

Les données : La constante radioactive du rhénium  est λ=2,2.10⁻⁶s⁻¹=0,19J⁻¹

1- la désintégration d’un noyau de rhénium 
1-1 Donner la composition du noyau du rhénium 

1-2 La désintégration du noyau de rhénium  donne un noyau d’osmium . Ecrire l’équation de désintégration du rhénium-186 et déterminer la nature de cette désintégration.

2-Injection locale d’une solution contenant du rhénium 186

Le produit injectable se présente sous la forme d’une solution contenue dans un flacon

de volume V0 = 10 mL ayant une activité a0 = 4.10⁹ Bq à la date t=0, c'est-à-dire à la sortie

du laboratoire pharmaceutique.

2-1 Déterminer en jours la valeur de demi-vie t1/2 du rhénium 

2-2 Trouver, à l’instant t1=4,8jours, le nombre N1 de noyaux de rhénium contenu dans leflacon

2-3 à l’instant t1 on prélève du flacon de volume V0=10mL une injection de volume V

contenant N=3,65.10¹³ noyaux de rhénium-186 , on l’injecte à un malade dans l’articulation

de l’épaule, trouver la valeur de V.

Correction exercice-4

1.1-           la composition du noyau du rhénium -186

Le noyau contient 75 protons (Z=75) et 111 neutrons (N=A-Z=186-75=111)

1.2-           L’équation de désintégration du rhénium-186 :

Par application des lois de Soddy :

Conservation de A (nombre de nucléons) : 186=186+A → A=0

Conservation de la charge : 75=76+Z → Z=-1

Donc : 

2.1- La valeur de demi-vie t1/2 du rhénium -186

t_1/2=ln2/λ=ln2/0,19=3,65 jours

2.2- le nombre N1 de noyaux de rhénium contenu dans le l’instant flacon à l’instant t₁=4,8 jours :

   

 2.3- La valeur de V:

La concentration du rhénium ne dépend pas du volume, donc : C=n₁/V₀=n/V

Avec n₁=N1/N_A et n₂= N/N_A → V=(N/N₁).V₀

Exercice-5:

1. Le sodium est un nucléide radioactif, sa désintégration conduit à la formation du nucléide de magnésium 

1.1. Écrire l'équation de la désintégration d'un nucléide de sodium et préciser le type de cette radioactivité

1.2. Calculer 𝜆, la constante radioactive, de ce nucléide sachant que la demi-vie du sodium 24 es t1/2 =15 h 

2. Suite à un accident de circulation, une personne a perdu un volume de sang. Afin de déterminer le volume sanguin perdu, on injecte au patient à l'instant t0 = 0 un volume V₀ = 5,00 ml d'une solution de sodium- 24 de concentration Co = 10^-3mol./^-1. 2.1.Déterminer n₁ la quantité de matière du sodium  restante dans le sang du patient à l'instant t₁=3h

2.2.Calculer l'activité a₁ de cet échantillon à l'instant t1 .(Constante d'Avogadro No = 6,02.10²³mol^-1) 

2.3. Al'instant t₁=3h, l'analyse d'une prise de sang du patient de volume V2= 2,00ml, indique la présence de n₂ = 2,1.10^-9 mol de sodium 24. En déduire le volume Vp du sang perdu, en considérant que l'organisme humain contient 5L du sang, et que le sodium est uniformément réparti dans le sang. 

Correction de l'exercice5:

1.1) L'équation de la désintégration d'un nucléide de sodium-24:

le type de cette radioactivité : β⁻ 1.2) Calculons 𝜆, la constante radioactive di sodium-24: λ＝ln2/t1/2=ln2/(15х3600)=1,28.10⁻⁵ s⁻¹ 2.1) Déterminons n₁ la quantité de matière du sodium  restante dans le sang du patient à l'instant t₁=3h: On a n0=C0хV0=10⁻³🇽5.10⁻³=5.10⁻⁶ mol Déterminons n1 à l'instant t1

2.2.Calculer l'activité a₁ de cet échantillon à l'instant t1 : 2.3) le volume Vp du sang perdu: La concentration du sodium-24 dans le sang du patient est

Le volume V_p perdu est :