Mouvement de rotation d'un corps solide indéformable autour d'un axe fixe.

  La grande roue constitue un corps solide indéformable susceptible de tourner autour d'un axe fixe. c'est quoi un mouvement de rota...

 

La grande roue constitue un corps solide indéformable susceptible de tourner autour d'un axe fixe.

c'est quoi un mouvement de rotation et quelles sont ses caractéristiques?

 1.Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe :

1.1.Activité 1 : mouvement de rotation d’un solide indéformable autour d’un axe fixe

        On considère un corps solide (S) en mouvement autour de l’axe (∆) (voir figure ci-dessous).

1) Quelle est la trajectoire des points M et N ?

Les deux points M et N décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe (∆).

2) Quel est le mouvement des points  et ?

Les deux point  et  qui appartiennent à l’axe (∆) sont immobiles.

1.2. Définition:

Un corps solide est en rotation autour d'un axe fixe (Δ) si tous ses points décrivent des cercles ou des arcs de cercles dans un plan perpendiculaire à cet axe et centrées sur l'axe.

Remarque: les points qui appartiennent à l'axe sont immobiles. (M et N)

2. Repérage d'un point du solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe.

2.1. Vecteur position: 

La position d’un point 𝑀 en mouvement est  donnée par ses coordonnées 𝑥 et 𝑦.

 2.2. abscisse angulaire et abscisse curviligne

On appelle abscisse angulaire du point M à un instant t donné, la valeur algébrique de l’angle :

 

                                                Son unité dans (S.I) est radian (rad).

          On appelle abscisse curviligne du point M à un instant t donné, la valeur algébrique de la                     distance :

        

                                                   Son unité dans (S.I) est mètre (m).

        2.3. Relation entre abscisse angulaire et abscisse cuirviligne.

        A tout instant, l’abscisse curviligne S et l’abscisse angulaire θ sont liés par la relation suivante :

  

                     R est le rayon de la trajectoire circulaire décrit par le point M dans le plan d’étude.

                        S : L’abscisse curviligne en (m).

               Ө : L’abscisse angulaire en (rad).

Remarque:

Pour convertir un angle de l’unité «degré» à l’unité «radian» (ou l’inverse), on utilise la relation suivante :

    3.Vitesse angulaire

     3.1.Vitesse angulaire moyenne

Au cours du mouvement de rotation du solide (S ) , Le point M du solide décrit  un mouvement circulaire  centré  sur l’axe (∆) de centre  O et de rayon  R = OM .

Soit M1   la position  du point M du solide à l’instant t1  

 M2   la position  du point M à l’instant t2

Au cours de la durée ∆t = t2 − t1  le point M parcours  l’arc     M1 M2   et le solide tourne  d’un angle :  ∆θ = θ2-θ1  .

On définit la vitesse angulaire moyenne par la relation:

 son unité dans (S.I) est rad/s

    Remarque: On peut exprimer la vitesse angulaire par le nombre de tours par minute (tr/min), avec : 

                        1tour/min= 2π/60 rad/s

    3.2.vitesse angulaire instantanée

    En considérant 𝑡_𝑖−1 et 𝑡_𝑖+1 deux instants très proches et qui encadrent l’instant 𝑡_𝑖.

    La vitesse angulaire instantanée à l’instant 𝑡_𝑖 est la vitesse angulaire moyenne entre les               instants 𝑡_𝑖+1 et 𝑡_𝑖−1.

        

  (en rad/s)

3.3.Relation entre vitesse d’un point et vitesse angulaire :

            a)     Vitesse linéaire : représente la vitesse de chaque point le long de sa trajectoire. 

            On la calcule à l’instant ti par la formule suivante:

                                                     

 b)    Relation entre vitesse angulaire et vitesse d’un point de solide :

           4.       Mouvement de rotation uniforme :

4.1. Définition :

Un solide indéformable est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire ധ0

            est constante.    

4.2.  Caractéristiques du mouvement de rotation :

a.     La période :

La période T d’un mouvement de rotation uniforme est égale à la durée d’un tour.

            Pour un tour on a :  

                                           T en s  et w en rad .

b.     La fréquence :

             La fréquence f d’un mouvement de rotation uniforme est le nombre des périodes par seconde,                 donc le nombre des tours par seconde. f en hertz (Hz).

                                                            ω=2π/T=2πf

4.3. L’équation horaire du mouvement de rotation uniforme :

Lors d'un mouvement de rotation uniforme ona:

A l'instant t0=0 ona  Ө(0)=Ө0

                        ΔӨ=ω0.Δt  ⇒ Ө(t) - Ө0 = ω0(t-0)  ⇒   Ө(t)=ω0 t+Ө0

                        Remarque: l'équation horaire de l'abscisse curviligne s'écrit: 

                                                S(t)= V.t+S0

Exercices

Exercice.1:

La roue d'une voiture de rayon R = 25 cm tourner  à une vitesse de 240 tr / min autour de l’axe fixe ( ) passant par son centre.

1°/ Quelle est la nature de mouvement de la roue, justifier ?

2°/ Calculer N la valeur de fréquence et T la période de mouvement de la roue? 

3°/ Calculer la vitesse angulaire ω de la roue en rad/s.?

4°/ On considère un point M situé au périphérique de la roue.

  a)   Calculer la vitesse linéaire du point M.

  b)   Donner l’équation horaire du point M sachant que l’abscisse angulaire Ө₀  de ce    point à l’instant t=0 est Ө₀=0.25rad.  

  c)   Déterminer le nombre de tours effectuer par la roue pendant la durée Δt=20 mn

Correction de l'exercice.1

1°/ La roue a un  mouvement de rotation uniforme autour de son axe  car sa vitesse est constante.

2°/ La valeur de la fréquence N et de la période T de mouvement de la roue.

La fréquence N :   N =240tr/mn=240/60=4Hz   ;   La période T : T=1/N= 1/4=0,25s

3°/ La vitesse angulaire ω de la roue :   ω  =240tr/mn=240.2π/60=25,13rad/s

4°/   a)   La vitesse linéaire du point M :    V_M=R.ω =25.10^-2×25,13=6.3m/s

  b)    L’équation horaire du point M :

Le point M de la roue a un mouvement circulaire uniforme, donc son équation horaire s'écrit sous la forme: Ө(t)= ω.t+Ө0

               Donc :    Ө(t)= 25,13.t+0,25 (rad)  

  c)  Le nombre de tours effectuépar la roue pendant la durée Δt=20mn

  Calculons la variation de l'abscisse angulaire ∆Ө entre t=0 et t=20mn

∆Ө=ω.Δt= 25,13.20.60=30156rad donc le nombre de tours est n=∆Ө /2.π=4799,5 tours

Exercice2

Un disque effectue 45 tours par minute. Son diamètre est 𝑑 = 20 𝑐𝑚.

1. Calculer la fréquence f du mouvement ainsi que la période T.

2. Calculer la vitesse angulaire ω du disque.

3. Calculer la vitesse v d’un point de la périphérie du disque.

Correction de l'exercice2

1. La fréquence est: f=45/60=0,75 Hz et la période: T=1/f=1/(0,75)=1,33 s

2.  ω=2π/T=2π/(1,33)=4,71 rad/s

3.   V=R×ω=d/2×ω=(0,17×/2×4,71=0,40 m/s

L’équation horaire du mouvement d’un point M d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est : 

s(t) = 0,60.t + 0,04

1. Quelle est la nature du mouvement ?

2. Déterminer les valeurs de l’abscisse curviligne du point M à l’instant t=0s et sa vitesse linéaire.

3. Sachant que le diamètre de la trajectoire circulaire est d=20cm, déterminer l’expression de l’abscisse angulaire en fonction du temps θ(t).

Exercice3

L’équation horaire du mouvement d’un point M d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est : 

s(t) = 0,60.t + 0,04

1. Quelle est la nature du mouvement ?

2. Déterminer la valeur de l’abscisse curviligne du point M à l’instant t=0s et sa vitesse linéaire.

3. Sachant que le diamètre de la trajectoire circulaire est d=20cm, déterminer l’expression de l’abscisse angulaire en fonction du temps θ(t).

Correction de l'exercice3

1. Mouvement de rotation uniforme car son équation s’écrit sous la forme : S(t)=vt+S0

2. S0=0,04 m       et     v=0,60 m/s  

3. On a :  v=R×ω       c-à-d    v=d/2×ω   ω=(2×v)/d=(2×0.6)/(20×0,01)=6 rad/s

Exercice4

Un  solide  (S)  de  diamètre   d =12 cm   est  animé d’un  mouvement  de  rotation  autour  d’un  

axe fixe.  Le  solide effectue  un  mouvement  dont l’abscisse  angulaire θ  varie  avec  le  temps 

comme  indiqué  sur  le  graphe  présenté  dans  le document ci-contre. 

1. Quelle est la nature du mouvement du point M

2.Ecrire l’équation horaire  du mouvement du point M.

3.Déterminer la période et la fréquence du mouvement

4. Déduire l’équation horaire s(t) du mouvement du point M.

Correction de l'exercice4

1.Le point M a un mouvement circulaire uniforme car la courbe θ(t)  est une fonction affine.

2. L’équation horaire du mouvement du point M :         On a :  θ(t)  = ω.t+ θ0     

Avec : ω : vitesse angulaire et θ0 : est l'abscise     angulaire à t=0.

ω= ΔӨ/Δt=(1-0,5)/(0,1-0)= 5 rad/s et graphiquement Ө0 =0,5 rad. d'ou: Ө(t)=5.t+0,5 (rad)  

3. la période T=2.π/ω= 2.π/5=1,26s        La fréquence du mouvement est: f=1/T=1/1,26=0,79 Hz

4. Equation horaire S(t):  S(t)= v.t+S0  =R.ω.t+ R.Ө0 = d/2.ω.t+d/2.Ө0 =0,06.5.t+0,06.0,5

S(t)=0,3.t+0,03 (m)

Exercice5

      On considère un système de deux poulies reliées par une courroie. 

La première poulie a un rayon R1= 5cm et tourne à une vitesse angulaire constante ω1= 180 rad.s-1. 

La seconde a un rayon R2 = 30cm. 

1. Calculer la vitesse angulaire de la seconde poulie ω2.

2. La courroie porte une marque C. Calculer la vitesse de translation du point C au cours du mouvement

3. Calculer la distance parcoure par C pendant une durée de 30s.

 Correction de l'exercice5

1. La courroie a la même vitesse linéaire en tout point de sa trajectoire : V1=V2=V

R1×ω1=R2×ω2  ⇒ ω2 =R1×ω1 /R2 = (5×180)/30=30 rad/s

2. V=R1×ω1=R2×ω2  =0,05.180=9 m/s

3. La distance parcourue : d=v×t=9×30=270 m

Exercice6

Le plateau d'un tourne disque dont le diamètre D=30 cm, effectue 33.3 tours /min autour de son axe.

1)   Calculer la vitesse angulaire du plateau.

2)   Déduire la fréquence et la période.

3)   Calculer la vitesse linéaire d'un point du

Plateau situé à une distance r=5 cm de l'axe de rotation.

4)   Calculer le nombre de tours effectué en 10s

5)   Quelle est la distance parcourue par un point de la périphérie du plateau, en 5 minutes.

 Correction de l'exercice6

1. On a: 1 tour correspond à un angle de 2×π rad et 1min=60s

La vitesse angulaire derotation du plateau est:

ω=33,3×2×π/60= 3,49 rad/s ≈ 3,5 rad/s

2. La fréquence f est le nombre de tours effectué en 1s :   f=33,3/60= 0,56 Hz

La période T est le temps nécessaire pour effectuer 1 tour: T=1/f= 1/0,56= 1,8 s

3. La vitesse linéaire dun point situé a une distance r de l'axe s'expre: V=r×ω= 0,05×3,5=0,18 m/s

4. Le nombre de tours effectué en 1 s est f=0,56.Le nombre de tours effectué en 10s est: n'=0,56×10=5,6 tours

5. La vitesse d'un point de la périphérie est:

Vp= D/2×ω= 0,03/2×3,5=0,053 m/s

La distance parcourue en 5min est : S=Vp×t=0,053×5×60=15,9 m

Exercice7

Un CD de 12 cm de diamètre tourne à la fréquence de 215 tours par minute. 

1. Déterminer la vitesse angulaire de rotation du CD. 

2. Déterminer la période T en s, et la fréquence f en Hz de rotation du CD. 

3. Déterminer la vitesse linéaire d'un point de la périphérique du disque. 

4. Déterminer la vitesse linéaire d'un point situé à 2 cm du centre du CD. 

 Correction de l'exercice7

1.la vitesse angulaire de la rotation du CD: ω= 2πx215/60=22,5rad/s

2. fréquence: f=250/60=4,17 Hz

La période: T=1/f= 1/4,17=0,24s

3. la vitesse linéaire d'un point de la périphérie du disque:

V=Rxω=D/2xω=12x10⁻²/2x 22,5= 1,35m/s

4. Vitesse du point situé à 2cm du centre de CD: V'=R'xω= 2x10⁻²x22,5=0,45m/s

Exercice8

Un disque de rayon r=30cm. tourne autour d'un axe fixe à une vitesse angulaire constante 33,3tr/min.

1.      Qu'elle est la nature de mouvement d'un point de la périphérique du disque dans le référentiel terrestre?

2.      Déterminer la vitesse angulaire du disque en rad/s.

3.      Calculer la vitesse rectiligne d'un point de la périphérie du disque dans le référentiel terrestre. puis dans un référentiel lié au disque.

4.Calculer la distance parcourue par le méme point pendant 5 min.

 Correction de l'exercice8

1. le point de la périphérie du disuqe est animé d'un mouvement circulaire uniforme.

2. ω= 2πx33,3/60=3,49rad/s ≈ 3,5rad/s

3. Dans le référentiel terrestre: V=Rxω=30x0⁻² 3,5=1,1 m/s

Dans un référentiel lié au disque V=0

Exercice9

L'équation horaire de l'aliscisse curviligne d'un point M appartenant à un solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe, s'écrit : 

s(t)=3,2t+0,4 (m)

1.    Quelle est la nature du mouvement du point M? Justifier

2.    Déterminer la valeur de la vitesse linéaire de ce point. Et la valeur de l'abscisse curviligne à l'instant t=0.

     3. La distance entre le point M et l'axe de rotation est RM=80 cm. calculer la vitesse angulaire de ce solide.

 Correction de l'exercice9

1. le point M est animé d'un mouvement circulaire uniforme car sin équation horaire s'écrit sous la forme: s(t)=V.t +S0

2. V=3,2 m/s et S0= 0,4 m

3. On a V=Rxω donc  ω=V/R=3,2/0,8=4rad/s

Exercice10

L’équation horaire du mouvement d’un point M d’un corps en rotation autour d’un axe fixe est:ϴ(t)=30t +0,2   avec ϴ en radians et t en secondes

1.  Quelle est la nature du mouvement du point M.

2.  Déterminer à partir de l’équation horaire, l’abscisse angulaire du point M à l’instant t₀ = 0s et la vitesse angulaire du mobile.

3.  Trouver l’expression de l’équation horaire du mouvement relative à l'abscisse curviligne sachant que le diamètre de la trajectoire circulaire formé par M est 20 cm

4.  En déduire la distance parcourue par le point M entre l’instant t₁ = 0,1s et t₂ = 0,2s.

 Correction de l'exercice10

1. M est en mouvement circulaire uniforme.

2. L'équation horaire caractérisant ce mouvement s'écrit sous la gorme: ϴ(t)=ωt +ϴ0

donc par analogie,l’abscisse angulaire du point M à l’instant t₀ = 0s est égale à 0,2rad et la vitesse angulaire du mobile est 30rad/s

3. S(t)=Rxϴ(t)=0,1xϴ(t)=0,1x30t +0,2 = 3t+2 (m)

4. La distance parcourue entre 0,1s et 0,2s est: d= s(t2)-s(t1)=(3.0,2+2)-(3.0,1+2)=0,3m

Exercice11

La courbe ci-dessus, donne les variations des abscisses curvilignes d’un

 point A d'un solide en rotation autour d’un axe fixe en fonction de temps.

1.Quelle est la nature du mouvement du point A.

2.Déterminer l’équation horaire de l’abscisse curviligne s (t) du mouvement de A.

3.En déduire l’équation horaire des abscisses angulaires  sachant que le rayon circulaire du point A est R=30 cm.

 Correction de l'exercice11

1. A est en mouvement rectiligne uniforme car son équation horaire s(t) est une fonction affine (droite)

2. S(t) = Vt +S0     avec V=ΔS/Δt = (S2-S1)/(t2-t1). (V est le coefficient directeur de la droite ou pente). On le calcule en choisissant é points de la droite. Par exemple M1(t1=0s ; S1=0,1m) et 

M2(t2=2s ; S2=0,2m)

V=ΔS/Δt = (S2-S1)/(t2-t1)=(0,2-0,1)/(2-0)=5.10⁻² m/s et S0=0,1m (S0=S(0) point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. S(t) = 5.10⁻²t +0,1  (m)

3. l'équation horaire des abscisses angulaire s'exprime: ϴ(t)=ωt +ϴ0    avec:

 ω=V/R =5.10⁻²/0,3=0,17 rad/s et ϴ0=S0/R=0,1/0,3=0,33 rad

d'où: ϴ(t)=ωt +ϴ0=0,17t +0,33 (rad)

Exercice12 

Un mobile M est en mouvement circulaire à une vitesse de valeur v=1,256 m/s, sur une trajectoire de rayon R=0,4 m.

1.  Déterminer :
     a. La vitesse angulaire  du mobile M.
     b. La période et la fréquence de son mouvement.

2.  Sachant que le mobile se déplace dans le sens positif et qu’à l’instant t₀ = 0s, il a déjà effectué 0,25  tour.
    a. Déterminer l’équation horaire ϴ(t) de son mouvement.

    b. Calculer le nombre de tours effectués par le mobile entre les instants 

t₀ = 0s et t₁ = 3s.

    c. Donner les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile à l’instant t₁ et le représenter en utilisant l’échelle suivante : 0,4 m.s^-1ϴ→ 1 cm     

Correction de l'exercice12

1.a.La vitesse angulaire du point M est :   ω=V/R=1,256/0,4=3,14 m/s

1.b. La période T=2π/ω=6,28/3,14=2 rad/s,  la  fréquence f=1/T=1/2=0,5 Hz

2.a. V =constante et la trajectoire est circulaire , donc le point M est en mouvement circulaire uniforme, et son équation horaire s'écrit: ϴ(t)=ωt +ϴ0   ϴ0 =ϴ(0)=0,25х2π=0,5π  (1 tour correspond à 2π)

ϴ(t)=3,14t +0,5π

2.b. le nombre de tours effectués par le mobile entre les instants t₀ = 0s et t₁ = 3s:

Calculons d'abord l'angle balayé entre ces deux instants: Δϴ=ϴ1-ϴ0=(3,14x3 +0,5π)-0,5π=9,42rad

2π rad correspond à1 tour, donc le nombre de tours effectués est n=Δϴ/2π=3,14x3/2π=1,5 tour

2.c. A l'instant t1 la vitesse est V1=1,256 (m/s) et la position du point M est ϴ1=3,14x3 +0,5π=3,5π

Les caractéristiques du vecteur vitesse sont:

-Origine: point M

- sens : sens du mouvement(sens positif)

- direction: tangent

- tangent à la trajectoire en M(perpendiculaire au rayon)

- Valeur: V=1,256 m/s 

Longueur du vecteur V selon l'échelle: 1,256/0,4 ≈ 3cm

Exercice13

La figure ci-dessous représente une scie circulaire, le moteur électrique qui la fait tourner et la courroie de transmission. En fonctionnement normal, la courroie ne glisse pas sur les poulies.
La poulie du moteur est un cylindre de rayon r₁ = 8 cm ; la poulie d’entraînement de la scie a pour rayon r₂ = 20 cm. La lame de scie elle-même est un disque de rayon r₃ = 35 cm.
Le moteur tourne à 2 000 tr. min^-1. Calculer :

1. La vitesse angulaire du moteur.

2. La vitesse de la courroie.

3. La fréquence de rotation de la scie.

4. La vitesse des dents de la scie.

Correction de l'exercice13

1. La vitesse angulaire du moteur est :ω=2000tr/min=2000х2π/60=200π/3=209 rad/s

$$\omega = \frac{200\pi}{3} rad.s^{-1}$$$$\omega =\frac{200\pi }{3}rad.s^{-1}$$

1. 2. La vitesse de la courroie est égale à la vitesse linéaire de la poulie du moteur

2. $$v = \omega r_{1} = \frac{200\pi}{3} \times 0,08 = \frac{16\}{3} m.s^{-1}$$$$v=\omega r_1=\frac{200\pi }{3}\times 0,08=\frac{16\pi }{3}m.s^{-1}$$

 $$v = \frac{16\pi}{3} m.s^{-1}$$$$v=16,75m/s$$

1. 3.La vitesse de la courroie est égale aussi  à la vitesse linéaire de la poulie de la scie

   $$v = \omega_{2} r_{2}$$$$v={\omega }_2{r}_2$$

2. Donc la vitesse angulaire de la scie est:

   $$\omega_{2} = \frac{v}{r_{2}} = \frac{16\pi}{3} \times \frac{1}{0,20} = \frac{80\pi}{3} rad.s^{-1}$$$${\omega }_2=\frac{v}{r_2}=\frac{16\pi }{3}\times \frac{1}{0,20}=\frac{80\pi }{3}rad.s^{-1}$$

3. 1. ω2=83,7rad/s
   2. D'ou: la fréquence de rotation de la scie est 

   3. $$n_{2} = \frac{\omega_{2}}{2\pi} = \frac{80\pi}{3} \times \frac{1}{2\pi} = \frac{40}{3} tr.s^{-1}$$$$n_2=\frac{{\omega }_2}{2\pi }=\frac{80\pi }{3}\times \frac{1}{2\pi }=\frac{40}{3}tr.s^{-1}$$

   f2= $$n_{2} = \frac{40}{3} tr.s^{-1}$$$$n_2=\frac{40}{3}tr.s^{-1}$$

   1. f2= 13,3 Hz
   2. 4.La vitesse des dents de la scie est égale à la vitesse linéaire de la lame de la scie(ω3=ω2)

      $$v_{3} = \omega_{2} r_{3} = \frac{80\pi}{3} \times 0,35 = \frac{28\pi}{3} m.s^{-1}$$$$v_3={\omega }_2{r}_3=\frac{80\pi }{3}\times 0,35=\frac{28\pi }{3}m.s^{-1}$$

    $$v_{3} = \frac{28\pi}{3} m.s^{-1}$$$$v_3=\frac{28\pi }{3}m.s^{-1}$$

   v3= 29,3 m/s

   1. {-1} = \frac{100}{3} tr.s^{-1}$$
      

      1. $$\omega = 2\pi n = 2\pi \times \fra

4. $$n_{2} = \frac{\omega_{2}}{2\pi

1. 
   $$v = \frac{16\pi}{3} m.s^{-1}$$