Travail et énergie cinétique

  Travail et énergie cinétique 1)Théorème de l’énergie cinétique 1.1-Energie cinétique d’un point matériel : L’énergie cinétique Ec d’...

 

Travail et énergie cinétique

1)Théorème de l’énergie cinétique

1.1-Energie cinétique d’un point matériel :

L’énergie cinétique Ec d’un point matériel de masse m et de vitesse v est :E_c = 1/2.m.v²

Ec est une grandeur scalaire positive en (J), m en (Kg)  v en (m.s^-1)

1.2- Energie cinétique d’un corps solide en translation :

L’énergie cinétique Ec d’un corps solide de masse m et de centre de gravité G, et qui est en mouvement de translation est donnée par la relation : Ec= E_c = 1/2.m.V_G²

Ec est une grandeur scalaire positive en (J), m en (Kg)  V_G en (m.s^-1)

1.3- Energie cinétique d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe :

L’énergie cinétique d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe par rapport à un axe (Δ) s’écrit : E_c = 1/2.J_Δ.ω²

ω: vitesse angulaire de rotation (rad.s-1)
J_Δ : moment d’inertie du corps par rapport à l’axe (Δ) (Kg.m²)  

En effet l’énergie cinétique du corps en rotation est la somme de
 toutes les énergies cinétiques des points Mi du solide.
 Ec= Σ1/2.m_i.V_i2

Ec=1/2.m₁V₁²+1/2.m₂.V₂²+….1/2.m_n.V_n²
    = 1/2.m₁r₁ ω2+1/2.m₂.r₂ ω²+….1/2.m_n.r_n ω²

      =1/2.(m₁ r₁² +m₂ r₂² +……m_n r_n²)ω²

      = 1/2.J_Δ.ω²      avec J_Δ= Σ m_i.r_i²

Moments d’inertie de quelques corps simples usuels.

 

1.4- Théorème de l’énergie cinétique

Dans un repère galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un corps solide indéformable en translation ou en rotation autour d’un axe fixe, est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures exercées sur ce corps entre ces deux instants.

 Exemple d’application -1:   

Un corps (C)de masse m=400g glisse sans frottements 
 sur un plan incliné. Déterminer la vitesse du corps lors
de son passage au point B sachant qu’il part du point A
 sans vitesse initiale. On donne α=30° ; g=10Kg/N ; AB=1,5m

Réponse

Etapes à suivre :

1)définir le système à étudier(le corps).

2)choisir le référentiel d’étude(terrestre supposé galiléen).

3)préciser la position de départ et celle d’arrivée.

4)Faire le bilan des forces extérieures appliquées au corps.

5)Calculer les travaux des forces).

6)Appliquer le théorème de l’énergie cinétique (translation ou rotation)

1)      Système étudié{corps(C)}

2)      Référentiel d’étude :référentiel terrestre supposé galiléen.

3)      Position de départ :le point A ; position d’arrivée :le point B

4)   

      Exemple d’application -2:

Un volant de moment d’inertie J_Δ tourne autour de son axe de rotation fixe (Δ) avec une vitesse angulaire ω=1200tr/mn. Pour arrêter le mouvement du volant ,on lui applique un couple de moment constant M=20N.m.le volant s’arrête après 20tours .calculer J_Δ.

Réponse

1)      Système étudié{le volant}

2)      Référentiel d’étude :référentiel terrestre supposé galiléen.

3)      Position de départ :θ₁, ω₁; position d’arrivée :θ₂, ω₂

4)      Bilan des forces appliquées au corps (C) :

ω₁=1200 tr/mn=1200.2π/60=125,7rad/s ; ω₂=0  ; Δθ=20tours.2π=125,7rad.

Exercice-3:

Un autoporteur (S1)de masse m = 600 g est lancé depuis un point A avec une vitesse initiale VA = 6 m.s-1 sur un plan AB horizontal de longueur AB = 3 m sur lequel il glisse sans frottement, puis aborde un plan incliné BD, de longueur BD = 4 m, a = 30° par rapport à l'horizontale, sur lequel les frottements seront supposés négligeables. L'autoporteur pourra être considéré comme un solide ponctuel. On prendra g = 10 N.kg -1

1. Exprimer, puis calculer l'énergie cinétique de l'autoporteur en A.

2. Faire l'inventaire des forces extérieures agissant sur l'autoporteur (S1) au cours de la phase AB.
   - Définir ces forces et les représenter sur le dessin.
   - Donner la définition d'un système pseudo-isolé.
   - L'autoporteur est -il pseudo-isolé au cours de la phase AB, dans la phase BD. En déduire la vitesse du centre d'inertie du mobile en B ?

3. Soit C le point de rebroussement sur le plan incliné.
   -Exprimer puis calculer le travail du poids de l'autoporteur et le travail de l'action Rn du plan sur l'autoporteur au cours du déplacement BC.
   - En appliquant la relation " travail- variation de l'énergie cinétique " pour le solide entre les instants tB et tC, en déduire BC la distance parcourue par le mobile avant de rebrousser chemin en C.

Un autre autoporteur (S2) de masse m = 600g est lancé depuis un point A avec une vitesse initiale VA = 6 m.s-1 sur le plan AB horizontal . Au passage du point B il présente une vitesse VB= 5,1 m.s-1.
-Le palet est-il pseudo-isolé sur la portion AB . Justifier la réponse.
-Faire l'inventaire des forces extérieures agissant sur l'autoporteur (S2).
-Donner l'expression du travail de chaque force au cours du déplacement AB.
- En appliquant la relation " travail- variation de l'énergie cinétique " pour l'autoporteur (S2) entre les instants tA et tB, en déduire f la force de frottement supposée constante mise en jeu.

Correction exercice3:

1. Énergie cinétique initiale en A : ½mvA² = 0,5. 0,6.6²= 10,8 J

2. Sur le plan horizontal, le solide est soumis à son poids et à l'action du plan. En absence de frottement, ces deux forces se neutralisent et le solide est pseudo isolé. La vitesse du solide reste constante sur le parcours AB.par contre sur le plan incliné le solide n'est pas pseudo-isolé.

3. La variation d'énergie cinétique entre A et C est égale à la somme des travaux des forces. en A :ECA ½mvA²= 10,8 J; en C arrêt avant la descente donc pas d'énergie cinétique: ECC=0

Théorème de l’énergie cinétique entre A et C:ΔEBC =ECC-ECB= 0-10,8 = -10,8 J. seul le poids travaille entre B et C car l'action du plan est perpendiculaire à la vitesse.

 Travail du poids lors de la montée BC : mg( zB-zC)=-mg.BC.sin∝=- 0,6.10(0,5 .BC)=-3.BC

ΔEBC  =-10,8=-3.BC   donc BC= 10,8/3 = 3,6 m.

4. Entre A et B la vitesse diminue, donc le solide S2 n'est pas pseudo-isolé.

Poids et action normale Rn du support sont perpendiculaires à la vitesse : elles ne travaillent pas.

travail de f: lors du déplacement AB : -f AB ou F AB cos 180°

La variation d'énergie cinétique entre A et B est égale à la somme des travaux des forces.

Exercice-4:

Une automobile, de masse 1000 kg, descend une pente de 10%. La vitesse initiale du véhicule est de 90 km. h-1, les freins sont actionnés et exercent un effort (résultant) de freinage constant de 2500N.
1- Déterminer la distance parcourue (x) avant l'arrêt..
2- Quelle est la quantité d'énergie dissipée par le freinage ?

Correctiob de l'exercice-4

1. Vitesse initiale: V1=90 / 3,6 = 25 m/s ; vitesse finale nulle: V2=0

variation d'énergie cinétique entre (1) et (2): ΔEc=Ec2-Ec1 =½mv²fin-½mv²départ
ΔEc= -0,5. 1000 . 25²= -312 500 J

travail moteur du poids en descente :WP=m.g.h= mg x sin α avec sin α =10%= 0,1

WP=1000.9,8.0,1. x= 980. x joules

Travail résistant des forces de  frottements : -f x = -2500 x

théorème de l'énergie cinétique :

-312 500 =( 980-2500)x d'où x= 205,6 m.

Energie dissipée par les freins : 2500.205,6 = 514 000 J.

2) Energie potentielle de pesanteur Epp :

2.1- Expression de l’énergie potentielle de pesanteur Epp 

Epp = m.g.z + C   

Epp: énergie potentielle de pesanteur (J) .
 z : ordonné du centre de gravité G du solide dans l’axe Oz orienté vers le haut .(m)
C : constante qui dépend de l’état de référence pour lequel l’énergie potentielle est considérée comme nulle.(J)

2.2- Etat de référence et autres expressions

C’est le plan horizontal ou l’énergie potentielle est nulle.

Il permet de déterminer la constante C.                    

     


si le niveau de référence coïncide avec l’origine
 de l’axe(niveau(1)),alors Epp=0 pour z=0
 0=m.g.0+C ⇒C=0 d’où Epp=m.g.z

      si le niveau de référence ne coïncide pas avec l’origine
 de l’axe(niveau(2)),alors Epp=0 pour z=z₀
0=m.g.z₀+C ⇒ C=- m.g.z₀   d’où Epp = m.g.z-m.g.z₀=m.g.(z-z₀)

3 cas peuvent se présenter si on choisit le niveau z=z0 comme référence :

z>z₀   ⇒ z-z₀=h ⇒ Epp = m.g.h > 0

z< z0 ⇒ z-z₀=-h ⇒ Epp = -m.g.h<0

z=z0 ⇒ z-z₀= 0 ⇒ Epp = 0

2.3- Variation de l’énergie potentielle de pesanteur Epp 

La variation de l’énergie potentielle Epp d’un solide entre deux positions z₁ et z₂ :

ΔEpp=Epp₂-Epp₁=(m.g.z₂+c)-(m.g.z₁+c)=mgz₂-mgz₁=mg(z₂-z₁) = -mg(z₁-z₂)=- w(P)

La variation de l’énergie potentielle de pesanteur est égale à l’opposé du travail de la force de pesanteur (poids P du corps)

3) Energie mécanique

3.1- Expression de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un corps est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur.

E_m=E_c+E_pp

3.2- Variation de l’énergie mécanique

a) conservation de l’énergie mécanique :

en absence de frottements, si la seule force qui travaille est le poids, alors l’énergie mécanique est constante(Em=Ec+Epp=constante). Il y a tranformation de l’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique et l’inverse, sans qu’il y a perte d’énergie. On dit que Em se conserve. Le poids est force conservative.

ΔE_m=E_m2-E_m1=(Ec₂+Epp₂) – (Ec₁+Epp₁)= (Ec₂-Ec₁)+(Epp₂-Epp₁)=ΔEc+ΔEpp=w(P) - w(P)=0

ΔEm=0   ⇒ E_m=constante
b) frottements non négligeables

la variation de l’énergie mécanique en présence de frottements est égale au, travail des forces de frottements. l’énergie mécanique diminue.

ΔE_m=E_m2-E_m1=(Ec₂+Epp₂) – (Ec₁+Epp₁)= (Ec₂-Ec₁)+(Epp₂-Epp₁)=ΔEc+ΔEpp=w(R)+W(P) - w(P)

ΔE_{m =W(f)}

ΔEm=W(f) = - Q   Q :le système perd une partie de son énergie sous forme de chaleur.

Exercice.1 : corps sur plan incliné

Un corps( S ) d masse m= 600 g est    abandonné, sans vitesse initiale,du sommet A d’un planche inclinée AB= L= 80 cm. On prend le plan horizontal

passant par B comme niveau de référence de l’énergie potentielle de pesanteur .

On prend : g = 10 N/Kg et α=30°. Le corps S est dans sa position initiale en A.

Exprimer et calculer :

1.1. Son énergie cinétique E_CA.

1.2. Son énergie potentielle de pesanteur E_PPA.

1.3. Son énergie mécanique E_mA

2. Les forces de frottement sont négligeables :

2.1. L’énergie mécanique du corps (S) est-elle conservée ?

2.2. Exprimer et calculer l’énergie potentielle E_PPB  de (S) en B.

2.3. Exprimer et calculer l’énergie cinétique de (S) en B et déduire sa vitesse V_B en B.

3. En réalité les forces de frottement ne sont pas négligeable et et la vitesse en B est 2,0 m/s.

3.1. Montrer que la variation de l’E.M. est égale au travail des forces de frottement le long du trajet AB.

3.2. Calculer le travail des forces de frottement le long de AB et déduire l’intensité f des forces de frottements sachant qu’elle est constante le long du trajet AB

3.3. quelle est la valeur de l’énergie thermique dissipée lors du trajet AB ?

Correction de l’exercice.1

1.1.        E_CA=1/2.m.V²_A=0

1.2.        E_PPA=m.g.h_A=m.g.AB.sinα=m.g.L.sinα=0,6.0,8.10.0,5=2,4J

1.3.        E_mA=E_CA+E_PPA=0+2,4=2,4J

2.1.       Oui l’énergie mécanique se conserve en absence de frottements.

2.2.       E_PPB=m.g.hB= 0 (h_A=0 c’est le niveau de l’énergie potentielle)

2.3.      EmA=EmB (conservation de l’énergie mécanique)

E_CA+E_PPA=E_CB+E_PPB       E_CB= E_CA+E_PPA-E_PPB= 0+E_PPA-0=E_PPB=2,4J

½.m.V_B²=E_PPB     V_B=√2.E_PPB/m=(2.2,4/0,6)^1/2=2,8J

3.1. ΔEm=E_mB-E_mA= (E_CB+E_PPB) - (E_CA+E_PPA)  =(E_CB -E_CA) + (E_PPB -E_PPA)= ΔE_C+ΔE_PP

 Exercice.2:Pendule simple

Un pendule est constitué d’une petite boule          

métallique de masse m = 80g, suspendue à un fil

inextensible de masse négligeable et de longueur

 L = 1m. Le fil est accroché en un point fixe O et

les mouvements du pendule s’effectuent dans

un plan vertical. Le fil du pendule étant initialement vertical, on l’écarte de cette position d’un angle θ₀=45°puis on abandonne l’ensemble sans vitesse initiale. (position 1) On néglige toutes les forces de frottement. g=10N/Kg

1.      Justifier la conservation de l’énergie mécanique pour la boule du pendule.

2.      Déterminer la valeur V₂ de la vitesse de la boule lorsqu’elle passe par la position

verticale (position 2).

3.      La position intermédiaire du pendule est définie par l’angle θ qu’il forme avec la verticale (voir figure 1) ; la valeur de la vitesse   de la boule est alors V.

On fait l’hypothèse que l’énergie potentielle de pesanteur est nulle dans la position la plus basse que le pendule peut occuper (position 2).

En appliquant la conservation de l’énergie mécanique sur la boule, en déduire

la formule littérale donnant la valeur V de la vitesse en fonction de θ, θ₀, g et L . Faire l’application numérique pour θ=25°

Correction exercice2

1.les frottements sont négligeables et la seule force qui travaille est le poids de la boule qui est une force conservative, donc l’énergie mécanique de la boule se conserve.

2. l’énergie mécanique se conserve

Em₁=Em₂      Ec₁+Epp₁=Ec₂+Epp₂

0+mgh₁=Ec₂+0

Ec2=mgh₁=mg(L-Lcosθ)=mgL(1-cosθ₀)     ½.m.V²₂=mgL(1-cosθ₀)     v₂=(2gL(1-cosθ₀)^1/2

A.N: V₂=(2.10.1.(1-cos45°))^1/2=2,4 ms^-1

3. Ecrivons la conservation de l’énergie mécanique entre la position θ₀ et la position θ

Em1=Em     Ec1+Epp1=Ec +Epp       0+ mgl(1-cosθ₀)= Ec+ mgL(1-cosθ)

Ec= mgL(1-cosθ₀)-mgL(1-cosθ)=mgL(cosθ-cosθ₀)   ½.m V²=mgL(cosθ-cosθ₀)  

V=(2gL(cosθ-cosθ₀) )^1/2     A.N: V=[2.10.1.(cos25°-cos45°)]^1/2=2m.s^-1