Noyaux,masse,énergie

1.Equivalence masse-énergie

1.1.Energie de masse-Relation d'Einstein.

Toute particule au repos de masse m possède une énergie de masse E donnée par la relation d'Einstein:

E=m.c²

E s'éxprime en Joule(J)
m enKilogramme (Kg)
c: célérité de la lumière (m.s⁻¹) c=2,9979.10⁸ m.s⁻¹ ≈ 3,0.10⁸ m.s⁻¹

Cette relation s'appelle aussi relation d'équivalence entre la masse et l'énergie car elle fait la correspo,dance entre les deux grandeurs physiques la masse et l'énergie.

Toute variation de de masse 𝜟m d'un système au repos corresponde à une variation de son énergie de masse 𝜟E telle que:

 𝜟E = 𝜟m.c².

• Si la masse du système au  repos diminue ( 𝜟mく0 ), l'énergie de masse diminue ( 𝜟Eく0 ) et le système fournit de l'énergie au milieu extérieur.
• Si la masse du système au  repos augmente  ( 𝜟m＞0 ), l'énergie de masse diminue ( 𝜟E＞0 ) et le système reçoit de l'énergie du milieu extérieur.

1.2.Unité de masse et énergie

Unité de masse:En physique nucléaire, les masses sont très petites, on le exprime en unité de masse atomique, de symbole u.

1u = 1,66054.10⁻²⁷ Kg

L'unité de masse atomique u est le douzième de la masse d'un atome de carbone-12.

m:masse d'un noyau de carbone-12.
M= 12g/mol.  masse molaire de l'isotope carbone-12.
NA = 6,02214086. Constante d'Avogadro.

Unité d'énergie: L'unité d'énergie du système international est le Joule(J).En physique nucléaire, on utilise pour des raisons pratiques le mégaélectronvolt (MeV)

1eV=1,602177.10⁻¹⁹J           

1MeV=10³ eV=1,602177.10⁻¹³ J

Correspondfance mase- Energie: D'après la relation d'Enstein (relation d'équivalence) , il y a correspondance entre masse et énergie.

l'énergie E qui correspond à une unité de masse atomique m=1u est:

E=m.c² = 1,66054.10⁻²⁷ . (299792458)² = 1,49241892.10⁻¹⁰ J = 931,5 MeV

 On a:  1u.c² =931,5 MeV,  donc

1u=931,5MeV/c²

Particule	Masse (en u)	Energie (en MeV)
Proton	1,00728	938,272
Neutron	1,00866	939,565
Electron	0,00055	0,511

2.L'énergie de liaison d'un noyau

2.1.Le défaut de masse d'un noyau:

Le défaut de masse Δm d'un noyau de symbolec'est la différence entre la masse des nucléons séparés et au repos et la masse du noyau au repos.

Δm=Z.mp+(A-Z).mn-m(X)

 Le défaut de masse est toujours strictement positif(𝜟m＞0)

2.2.L'énergie de liaison d'un noyau:

C'est l'énergie libérée lors de la formation d'un noyau au repos à partir de ses nucléons séparéees et au repos.

El= 𝜟m.c²

2.3.Energie de liaison par nucléon:

L'énergie de liaison par nucléon dans un noyau est le quotient de l'énergie de liaison par le nombre de nucléons du noyau.

𝓔=El/A

L'énergie de liaison par nucléon s'éxprime en général en MeV par nucléon(MeV/nucléon).Un noyau est d'autant plus stable(cohésion du noyau forte) que son énergie par nucléon est grande.

Exemple:Calculer le défaut de masse (Kg)et l'énergie de liaison (J et MeV) du deutérium
(isotope du proton).

On donne: mp=1,6727.10⁻²⁷ Kg ; mn=1,6750.10⁻²⁷ Kg ; masse du eutérium m=3,3435.10⁻²⁷ Kg

Défaut de masse: 𝜟m=mp+mn-m=4,2.10⁻³º Kg

L'énergie de liaison:El=𝜟m.c²=3,8.10⁻¹³J=2,3MeV

2.4.La courbe d'Aston:

• La représentation de -El/A en fonction de A pour tous les noyaux de la vallée de la stabilité s'appelle la courbe d'Aston.les noyaux  stables sont dans la zone basse(creux) de la courbe (partie en rounge de la courbe).Leur nombre A est tel que 20＜A＜195et leur énergie de liaison par nucléon diminue sensiblement de - 8 MeV /nucléon à -8,7 MeV/nucléon.Cette courbe présente un minimum au voisinage du fer -56 et cuivre-63qui sont des noyaux stables.
• Les noyaux instables , possédant des énergies de liaison par nucléon relativement faible peuvent se transformer en d'autres noyaux plus stables avec libération d'énergie.Deux processus sont alors possibles:Fission d'un noyau lourd, A＞190(comme l'uranium-238) ou fusion de deux noyaux légers,1＜A＜20, (isotopes d'hydrogéne) 

Remarque: Contrairement aux désintégrations radioactives, les réations de fission et de fusion ne sont pas apontanées et doivent étre amorcées.

3.Bilan énergétique

3.1.Expression de l'énergie libérée dans le cas général

Soit, dans un système isolé, la réaction nucléaire d'équation:

L'énergie libérée( fournie au milieu éxtérieur) s'exprime  en fonction des masses par la relation

Elibérée =𝜟E=EF-EI =mF.c² - mI.c² =  (mF - mI ).c²=[m(produits)-m(réactifs)].c²

L'énergie libérée s'exprime  en fonction des énergies 
de liason par nucléon(voir diagramme énergétique)
par la relation

3.2.Application aux désintégrations radioactives

a.Radioactivité α:

b.Radioactivité β⁻

c.Radioactivité β⁺

Exercices

Exercice.1

Le rubidiumest un noyau stable alord que 

le rubidium 89 est émetteur β^-.

1.Calculer l’énergie de liaison de ces deux isotopes.

2.Déduire l’énergie de liaison par nucléon.

3.Classer ces isotopes d’après leur stabilité.

4.a.Ce résultat confirme -tilla radioactivité du rubidium 89 ?

4.b.Ecrire l’équation de désintégration de cet isotope. 

Quel est le noyau fils produit.

Données :

 m()=84,89144u ; m()=88,89193u 

 m_n=1,00866u ; m_p=1,00728u ; 1u=931,5 MeV/c²

^{Quelques éléments du tableau périodique.}

Solution de l'exercice1

1.l’énergie de liaison de 

: E_l=(Zm_p+(A-Z)m_n-m().c²

E_l=(37m_p+(85-37)m_n-m().c²

E_l=(37.1,00728+(85-37)1,00866-84,89144)u.c²

E_l=0,79360u.c²=0,79360.931,5 MeV=739,2MeV

l’énergie de liaison de : E_l=(Zm_p+(A-Z)m_n-m().c²

E_l=(37m_p+(85-37)m_n-m().c²

E_l=(37.1,00728+(89-37)1,00866-88,89193)u.c²

E_l=0,79360u.c²=0,82775.931,5 MeV=771,0MeV

2. calcul de ξ = E_l/A pour chacun des deux isotopes

Rubidium 85 : ξ = E_l/A =739,2/85=8,70 MeV par nucleon

Rubidium 89 : ξ = E_l/A =771,0/89=8,66 MeV par nucleon

3.Le rubidium 89 est moins stable que le rubidium 85 car son énergie de liaison par nucléon est plus faible que celle du rubidium 85.

4.a. Le rubidium 89 est moins stable que le rubidium 85 qui est stable, c’est pourquoi le rubidium 89 peut se désintégrer, ce qui es conforme aux calculs précédents.

4.b. Equation de désintégration β^- du rubidium 89.

Loi de Soddy :

Conservation du nombre de charges Z : 37=Z-1

Conservation du nombre de masse A : 89=A+0

Z=38 (Sr)   et A=89.L’équation s’écrit :

Exercice2

Désintégration du césium

Des sources scellées de césium 137 sont utilisées dans l'industrie, principalement pour des

mesures de densité et l'étalonnage d'appareillage, mesures d'épaisseur et de niveau. De même,elles sont utilisées dans les laboratoires de physique nucléaire.

Cet exercice vise l'étude d’une utilisation du césium
.

Données :

1 1.Le césium radioactif , donne en se désintégrant le noyau de baryum 
et une particule. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes :

A Le noyau du césium est constitué de 82 protons et de 137 neutrons

B Tous les isotopes de césium possèdent 55 protons

C L’équation de désintégration du Cs s’écrit :

D La désintégration du césium est de type β⁺

2. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie.

La valeur de l'énergie de liaison ELdu noyau 55137Cs vaut :

A EL=1,05.103MeV      B EL=1,13.103MeV    C EL=1,65.103 MeV     D EL= 1,98.103 MeV

 3. En 2001, un laboratoire a reçu un échantillon contenant du césium d'activité initiale a0. On désigne par a l'activité radioactive de l'échantillon à l'instant t.
3.1. Recopier, sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie. 

L'activité a d'un échantillon radioactif peut s'exprimer par la relation : 

A lna=lna0+λt    B lna=lna0-λt    C lna=-lna0+λt D lna= -lna0+λt

3.2. La courbe ci-contre représente les variations de lna en fonction du temps (lna = f(t)). 

3.2.1. Déterminer graphiquement :

•   la valeur de la constante radioactive en unité (an-1) ;
• la valeur de a0 en unité (Bq) .

3.2.2. Cet échantillon de césium n'est plus utilisable lorsque son activité a est inférieure à 20% de sa valeur initiale (a < 20%.a0). 

Recopier. sur votre copie, le numéro de la question et écrire la lettre correspondante à la proposition vraie.
L'échantillon ne sera plus utilisable à partir de l'année : 

A 2052     B 2042             C. 2025                      D 2022 

Correction de l'exercice2

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Suivi d’une transformation chimique

Suivi d’une transformation chimique

I-Activités

Activité-1 :Etude de l’évolution d’un système (Précipitation du phosphate de calcium)

Les ions calcium Ca²⁺ réagissent avec les ions phosphate PO₄^3- et donnent un précipité de phosphate de calcium Ca₃(PO₄)₂.

On mélange un volume V₁ = 10,0 mL d’une solution de chlorure de calcium
(Ca²⁺ + 2Cl^-) de concentration C₁ = 5,0x10^-2 mol.L^-1 avec un volume V₂ = 50,0 mL d’une solution de phosphate de sodium (3Na⁺ + PO₄^3-) de concentration C₂ = 2,0x10^-2 mol.L^-1

1)1.1.Déterminer les concentrations initiales(avant précipitation) des ions Ca²⁺ et Cl^- en solution dans le mélange.

1.2. Même question pour les ions Na⁺ et PO₄^3-

2. Ecrire l’équation de la réaction de précipitation.

3. Déterminer les quantités de matière à l’état initial des ions Ca²⁺ et PO₄^3- notées respectivement n₁ et n₂.

4. Dresser le tableau d’avancement de la réaction. On utilisera uniquement les expressions littérales des quantités de matière.

5. Déterminer la valeur de l’avancement maximal. Quel est le réactif limitant ?

     6. Déterminer la quantité de matière de toutes les espèces chimiques en fin de réaction.

Réponses

1.1. 

[C2.     2.Equation de la réaction de précipitation :

  3 Ca²⁺ + 2 PO₄^3- → _Ca3(PO₄)

 3. Quantités de matière à l’état initial des ions Ca²⁺ et PO₄^3-_, notées respectivement n₁ et n₂ :  

          n₁ = C₁V₁ = 5x10^-2x10x10^-3 = 5,0x10^-4 mol

n₂ = C₂.V₂ = 2x10^-2x50x10^-3 = 1,0x10^-3 mol

4. Tableau d’avancement:

 

Equation de reaction		3 Ca2+    +         2 PO43-            →          Ca3(PO4)2
Etat du système	Advancement x(mol)	Quantités de matière
Etat Initial	0	n1	n2	0
Etat Intérmidiaire	x	n1 – 3x	n2 – 2x	x
Etat Final	xmax	n1 – 3xmax	n2  – 2xmax	xmax

5. Le réactif limitant:

Si Ca2+ est le réactif limitant, il va disparaitre à la fin de la réaction. Donc ,d’après le tableau d’avancement n1 – 3x_max ; 5,0x10^-4 -3 xmax=0

x_max=5,0x10^-4 /3=1,7.10^-4mol.
Si PO4^3- est le réactif limitant, il va disparaitre à la fin de la réaction. Donc ,d’après le tableau d’avancement n2 – 2xmax ; 1,0x10^-3 -2 max=0  
xmax=1,0x10^-3 /2 = 5.10^-4mol.
xmax=1,7.10-4mol et le réactif limitante st l’ion calcium Ca2+ .

Le réactif limitant correspond à la plus petite valeur de xmax donc :

6. quantité de matière de toutes les espèces chimiques en fin de réaction.

n₁ - 3x_max = 0 : il n’y a plus d’ions calcium en solution.(réactif limitant)

n(PO₄^3- )_final = n₂ -2x_max = 10^-3 – 2x1,7x10^-4 =  0,66x10^-4 mol.

n(Ca₃(PO₄)₂) _(final) = x_max =1,7x10^-4 mol

 

Activité.2: Etude d’une réaction produisant un gaz

Énoncé : Le zinc réagit avec l’acide chlorhydrique pour donner un dégagement
gazeux de dihydrogène H_2(g)et des ions Zn²⁺ _(aq) en solution aqueuse. 

- On fait réagir un volume V = 20,0 ml 
d’acide chlorhydrique de concentration
C = 5,00 mol/L avec une masse m = 0,11 g de zinc solide.
- On précise que les ions chlorure Cl^-_(aq) sont des ions spectateurs et que dans les conditions de l’expérience, le volume molaire Vm = 24 ,3 L / mol. 

- Données : masse molaire du zinc : M (Zn) = 65,4 g / mol.

1. Écrire l’équation de la réaction.

2. Donner l’état initial du système et calculer les quantités de matière des différents réactifs.

3. Dresser un tableau d’avancement de la réaction.

4. Déterminer le réactif limitant et la valeur de la valeur de x_max.

5. Faire le bilan de matière et calculer le volume de dihydrogène obtenu.

Réponses :

1.L’équation de la réaction

Zn_(s) + 2H⁺_(aq) ­­­­­→ Zn²⁺_(aq) +H_2(g)

2.      Quantités de matière à l’état initial :

n₀(Zn)=m(Zn)/M(Zn)= 0,11/65,4=1,7.10⁻⁻³mol
n₀(H⁺₍aq₎)=C.V=5,00.20.10⁻³=0,10 mol

3.      Tableau d’avancement

Equation de reaction		Zn(s)   +  2H+(aq) ­­­­­ →   Zn2+(aq)  +   H2(g)
Etat du système	Avancement x(mol)	Quantités de matière
Etat Initial	0	1,7.10⁻³	0,10	0	0
Etat Intérmidiaire	x	1,7.10⁻³ – x	0,10 – 2x	x	x
Etat Final	xmax	1,7.10⁻³ – xmax	0,10  – 2xmax	xmax	xmax

4.      le réactif limitant et la valeur de la valeur de x_max.

Si Mg est réactif limitant alors :n_f(Zn)=0 ; 1,7.10⁻³ – x; x_max=1,7.10⁻³ _mol.

Si H⁺_(aq) est réactif limitant alors :n_f(H⁺)=0 ; 0,10   – 2x_max ; x_max=5,0.10⁻² mol

Le réactif limitant correspond à la plus petite valeur de x_max. Donc x_max=1,7.10⁻³ _mol. 

Et le réactif limitant est le zinc Zn_(s) .

5.      le bilan de matière et calculer le volume de dihydrogène obtenu.

D’après le tableau d’avancement :

n_f(Zn)= 0 mol ; n_f(H⁺)=0,10-2.xmax=0,10 - 2.1,7.10⁻³=9,7.10^-2 moL

n_f (Zn²⁺)=n_f(H₂) =x_max=1,7.10⁻³

II-Cours

1-la transformation chimique :

1.1-       Description d’un système chimique :

Un système chimique est constitué d’un ensemble d’espèces chimiques. Pour décrire correctement l’état du système chimique, il est nécessaire de préciser les points suivants :

La nature, l’état physique et la quantité de matière de toutes les espèces chimiques présentes (réactives ou non).

Les conditions de température et de pression.

1.2-       La transformation chimique :

un système chimique évolue si On observe la disparition de certaines espèces chimiques constituant le système -les réactifs- et la formation de nouvelles espèces -les produits. Le système atteint l’état final lorsque la composition du système n’évolue plus.
Une transformation chimique est le passage d’un système chimique d’un état initial à un état final.

Exemple :Activité-2

1.3-       La réaction chimique et son équation.

La réaction chimique est la modélisation, à l’échelle macroscopique, de la transformation chimique.

L’équation chimique est l’écriture symbolique de cette réaction.

Une équation chimique s’écrit sous la forme : réactifs → produits. La flèche se lit « donne ».
Exemple : activité-2 :

      Zn_(s) + 2H⁺_(aq) ­­­­­→ Zn²⁺_(aq) +H_2(g)

 Les réactifs : sont les espèces chimiques qui réagissent au cours de la réaction. Leurs                     quantités de matière vont diminuer. (Zn_(s) et H⁺_(aq)  dans l’exemple)

Les produits : sont les espèces chimiques qui sont formés au cours de la réaction . Leurs quantités de matière vont diminuer. ( Zn²⁺_(aq) et H_2(g)  dans l’exemple)

« Espèces spectatrices » : sont les espèces chimiques dont la quantité de matière n’évolue pas au cours de la réaction chimique. (Cl⁻₍aq₎ dans l’exemple).

Les coefficients stœchiométriques : nombres placés devant les réactifs et les produits. Ce sont des nombres entiers et positifs qui permettent de respecter les règles de conservation (nombre d’atomes et de charges).

2- Le bilan de matière et le tableau d’évolution :

2.1- Avancement et tableau d’évolution :

Avancement : c’est une quantité de matière variable, notée x, qui permet de suivre (déterminer) les quantités de matière des réactifs et des produits au cours d’une transformation.
Avancement maximal et réactif limitant :
 Le réactif limitant est celui qui est entièrement consommé lors d’une transformation chimique.
l’avancement maximal est x_max est la plus petite valeur de l’avancement x pour laquelle la quantité de matière de l’un des réactifs est nulle.

Tableau d’évolution : permet de présenter de façon synthétique l’évolution des quantités de matière des réactifs et des produits.

Bilan de matière : Consiste à déterminer les quantités de matière de toutes les espèces chimiques présentes dans le système.

2.2- Cas général :Tableau type d’une réaction chimique

équation		aA                  +     bB               →       cC             +        dD
état	Avancement x(mol)	Quantités de matière
Initial	0	n0(A)	n0(B)	n0(C)	n0(D)
En cours	x	n0(A)-ax	n0(B)-bx	n0(C)+cx	n0(D)+dx
final	xmax	n0(A)-axmax	n0(B)-bxmax	n0(C)+cxmax	n0(D)+dxmax

Avancement final et réactif limitant :
A réactif limitant : n₀(A)-ax_max=0 ⇒ x_max= n0(A)/a ;  
B réactif limitant : n₀(B)-bx_max =0 ⇒ x_max= n0(B)/b

Si  n0(A)/a ≺ n0(B)/b   alors x_max= n0(A)/a    et A est le réactif limitant (n_f (A)=0)

Représentation graphique de l’évolution des quantités de matière de A,B,C et D

Exercice 1: Combustion de l'éthanol dans le dioxygène

On brule une masse m=2,4g d'éthanol(C2H6O) dans un volume V=2,4L de dioxygène pur.Il se forme du dioxyde de carbone et de l'eau.

1.Ecrire l'équation modélisant cette réaction chimique.

2.Calculer les quantités de matière des réactifs à l'état initial.

3. Donner le tableau d'vancement de la transformation

3.Déterminer l'avancement maximal et le réactif limitant.

4.Déterminer le bilan de matière: composition du système à l'état final en quantité de matière.

Données: M(C2H6O)=46g/mol;  Volume molaire Vm=24l/mol.

Corrigé

Exercice2réaction Zinc et acide chlorhydrique

une masse m=2 g de zinc Zn_(s)  réagit avec un volume V=600 mL d'une solution d'acide chlorhydrique (H⁺_(aq)+Cl^-_(aq)) de concentration soit C=0,5 mol.L^-1  selon l’équation de réaction :  Zn_(s)   + 2H⁺_(aq)     →    Zn²⁺_(aq) +   H_2(g)

1-     Calculer les quantités de matière des réactifs à l’état initial.

2-     Etablir le tableau d’avancement associé à cette réaction chimique.

3-     Calculer l’avancement maximal et déterminer le réactif limoitant.

4-     Déterminer la composition du système à l’état final.

On donne :  M(Zn)=65,4 g/mol

Les résultats numériques seront exprimés avec 3 chiffres significatifs

Corrigé

3-

Si Zn est le réactif limitant, alors 3,06.10^-2 -x_max1=0  ,   x_max1=3,06.10^-2 mol

Si H⁺ est le réactif limitant , alors 0,300 – 2x_max2=0 ,   x_max2= 0,150mol＜＜＜

Puisque x_max1＜ x_max2 : x_max=3,06.10^-2 mol et  Zn est le réactif limitant.

4-      La composition du  système à l’état final :

n_f(Zn)=0 réactif limitant ;    n_f(H⁺)=0,300 – 2xmax=0,300-2. 3,06.10^-2 = 0,239 mol ;

n_f(H₂)= xmax=3,06.10^-2 mol

Exercice 3 : réaction des ions thiosulfate avec le diode

Les ion thiosulfate S​​₂O​₃³⁻₍​ _aq) réagissent avec la diode I₂ pour former des ions Tetrathionates  S​₄O​₆²⁻_(aq) et des ions iodure I^-_(aq) Selon l’équation :

                     I​₂ (aq) + 2 S​​₂O​₃³⁻ (​ aq)    ➝     2I^-(aq)​ + S​₄O​₆²⁻ ​(aq).​

 

La seule espèce colorée est le diode I​₂(_aq)._​ Initialement le système chimique contient 3,0 mol de diiode et 5,0 mol d’ions thiosulfate.

1.      Construire le tableau d’avancement de la réaction.

2.      Déterminer le réactif limitant et la valeur de l’avancement maximal x​max._​

3.      Quelle sera la composition du système à l’état final ?

4.      Le mélange final sera-t-il coloré ? Justifier. 

5.      Calculer la concentration finale en ions I​^-​(aq) dans le mélange si le volume total à la fin de la réaction est de 50 mL.

Corrigé de l'exercice-1:

               1.tableau d’avancement de la réaction.

2. Déterminer le réactif limitant et la valeur de l’avancement maximal x​max._​ Bien détailler la méthode.

    3.Quelle est la composition du système à l’état final ?
       A l’état final:  n​f(_​ I​₂)_​ = 0,5 mol ,  nf(S​​₂O​₃³⁻)​ = 0 mol , 

        nf​ _​( I^- ) =5mol                     n​f_​(S​₄O​₆²⁻)​ = 2,5 mol 

         4.   Le mélange final sera-t-il coloré ? Justifier. 
       Oui, le mélange final sera coloré car il reste encore du
       diode à l’état final.  

         5.Calculer la concentration finale en ions I​^-​(aq) dans le                        mélange si le volume total à la fin de la réaction est
            de 50 mL           

        [I⁻] = nf​ _​(I​^- )​/V=5,0/0,05=1​ ,0 ×10​⁻²​ mol/L.

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