Le mouvement

 Le mouvement

Le mouvement d’un corps n’est pas le même pour tous les observateurs. Pour décrire son mouvement (trajectoire, vitesse, ...), il est nécessaire de préciser le corps de référence par rapport auquel le mouvement est étudié.

1.  Relativité du mouvement:

1.1.     le référentiel:

Exemple: Un bus en mouvement

Un bus roule lentement en ville, Ali (A) est assis dans le bus. Bouchra (B), elle aussi dans le bus, aperçoit Carim (C) qui est sur le bord de la route. Elle marche alors dans l’allée vers l’arrière du bus pour rester à la hauteur de Cédric.

Remplir le tableau ci-dessous,  par les mentions : « en mouvement » ou « immobile » en réponse à la question : « X est-il en mouvement par rapport à Y ? ». X représente : A, B, C.  représente : A,  C et le bus.

Objets	A	B	C
Par rapport à A	immobile	en mouvement	en mouvement
Par rapport à C	en mouvement	en mouvement	immobile
Par rapport au Bus	immobile	en mouvement	en mouvement

Le mouvement d’un  corps  ne  peut  être  étudié  que  par  rapport  à  un  solide  de référence (référentiel). L'état de mouvement ou de repos d'un corps dépend du référentiel choisis. On dit que le mouvement d'un système est relatif au référentiel choisis.

On dit qu’un corps est en mouvement par rapport à un autre corps pris comme référentiel si sa position change par rapport à ce référentiel.

1.2.    Le repère

Pour décrire avec précision le mouvement d’un point il faut déterminer un repère d’espace et un repère de temps.

1.2.1.Repère d'espace

our repérer la position d’un point M du mobile on choisit un repère d'espace lié au référentiel, et on repère les positions de M par un vecteur   appelé vecteur position.

a.   1.2.2.Repère de temps

Pour repérer le temps, on utilise une horloge (ou chronomètre) qui donne la date notée t d’un événement par rapport à une origine des temps choisie arbitrairement (t=0).

L’intervalle de temps qui sépare deux dates  t₁ et t₂ représente une durée ; on la note Δt＝t₂-t₁.

Dans le système international, les dates et les durées sont mesurées en seconde (s).

La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives que ce point occupe au cours de son mouvement.

Si la trajectoire est une droite, le mouvement est rectiligne

Si la trajectoire est un cercle, le mouvement est circulaire.

Si la trajectoire est une courbe, le mouvement est curviligne

Remarque :

La trajectoire d’un point dépend du référentiel d’étude.

2.Vitesse d'un point du corps en mouvement de translation

2.1. La vitesse moyenne

La vitesse moyenne Vm d’un mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée de parcours ∆t

 

Avec : La vitesse moyenne en (m.s^-1), la distance parcourue en (m) et la durée du parcours en (s).

Remarque :

On utilise aussi fréquemment :  1m.s¹=3,6 km.h⁻¹

2.2. La vitesse instantanée

a.     Définition

La vitesse instantanée  d'un mobile M est la vitesse que peut prendre ce mobile à un instant t donné.

Pour déterminer à partir d’un enregistrement la vitesse instantanée Vi d’un point Mi à l’instant ti, on fait calculer la vitesse moyenne de ce point entre deux instants ti+1et ti-1 très proches encadrant l’instant t :

b.    Vecteur vitesse instantanée 

Les caractéristiques de vecteur vitesse instantanée au point M sont :

 Origine : La position M du mobile à l’instant t

 Direction : La tangente de la trajectoire en M.

Sens : Le sens du mouvement.

Norme : On utilise la méthode d’encadrement suivante, pour : 

I.               Mouvement rectiligne uniforme - équation horaire

1.     Activité 2

Matériel : Table à coussin d’air et ses accessoires.

Manipulation : On règle l’horizontalité de la table. On lance l’autoporteur et on enregistre les positions de l’éclateur central M. L’enregistrement obtenu ressemble à celui donné sur le schéma suivant avec τ=40ms 

1.     Quelle est la nature de la trajectoire du point M ?

2.   Calculer la vitesse moyenne de l’éclateur central entre les positions M1 et M6

3.  En utilisant la relation suivante , calculer la vitesse instantanée de l’éclateur central aux positions M3 et M5 . Conclure.

4.   Représenter sur l’enregistrement les vecteurs vitesses 

5.On choisit le point M0 comme origines des abscisses et l’instant d’enregistrement du point M2 comme origine des temps. En exploitant l’enregistrement précèdent, noter les abscisses de l’éclateur central de l’autoporteur et les instants correspondantes. Compléter le tableau, tel que :

  

Positions	M0	M1	M2	M3	M4	M5	M6
Abscisses x(ti) en (cm)
Instants  ti (ms)
Vitesse en (m/s)	----------

  

 

         6.   Tracer dans un papier millimètre la courbe x=f(t). Quelle est la nature de cette courbe .

         7. Ecrire l’équation de cette courbe en précisant les unités et les valeurs des grandeurs utilisées.

         8. Proposer une écriture de l’équation de la courbe appelée l’équation horaire du mouvement

      Réponses:

       1) la trajectoitr du point M est rectiligne

       2)   V1,6= M1M6/2τ =0,1/5🇽 0,04=0,1/0,2=0,5m/s

       3)  V3=M2M4/2τ =0,04/0,08=0,5  m/s      V5=M4M6/2τ =0,04/0,08=0,5  m/s

        4) On choisit comme échelle  1Cm⟶ 0,5m/s

 

       5)

5) 

Positions	M0	M1	M2	M3	M4	M5	M6
Abscisses x(ti) en (cm)	0	2	4	6	8	10	12
Instants  ti (ms)	-80	-40	0	40	80	120	160
Vitesse en (m/s)	----------	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	--------

  

    

     

   - 

6) tracer la courbe x=f(t)

7) x=f(t), est une fonction affine(droite ne passant pas par l'origine).son équation s'écrit:

x(t) = at+b  avec a coeficent directeur

choisissons les deux popints M0( t0=-0,08s ; x0=0m) et M2( t2=0; x2=0,04m)

a=Δx/Δt=(x2-x0)/t2-t0 

a=(0,04-0)/(0-(-0,08)=0,04/0,08=4/8=0,5m/s c'est la vitesse du point M

b=x(0)=x0=0,04m (intersection de la droite avec l'axe des ordonnés)

x(t)= 0,5t+0,04 (m)

 8) de façon générale, l'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniforme s'écrit: x(t)=Vt+x0

V: la vitesse en m/s et x0 c'est l'abscisse du pont à l'instant t=0 en m

Conclusion

     -Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne uniforme si sa trajectoire est rectiligne et sa vitesse instantanée V est constante 

   -   On exprime le mouvement rectiligne uniforme d’un point par la relation suivante :

x(t)=vt+x0   Cette relation est appelée l’équation horaire du mouvement

x(t): abscisse du point à la date t (m); v: vitesse (m/s) et x0 abscissse à t=0

- Si l’origine des dates et celle du repère d’espace sont confondues , l’équation devient linéaire (x=vхt).

Ø                -  Si le mobile se déplace dans le même sens que l’axe Ox : v > 0

             -  Si le mobile se déplace dans le sens contraire que l’axe Ox : v < 0

Exercice d’application 1

Une autoporteuse glisse sans frottement sur une table horizontale. La durée entre deux prises successives est : τ=40ms. L'enregistrement de la trajectoire de son éclateur central M est donné par la figure suivante : Echelle 1/2

1.      Quelle est la nature de la trajectoire du point M ?

2.     Calculer la vitesse moyenne du point M entre les positions M₀ et M₇.
3.      Calculer les vitesses instantanées du point M aux positions M₂, M₅ et M₆.
4.     Représenter les vecteurs vitesse instantanée en ces positions. (Echelle:1cm→1,0m/s)
5.     Quelle est la nature du mouvement du point M ? Justifier votre réponse.
6.     On choisit le point M₀ comme origines du repère d’espace et l’instant d’enregistrement du point M₂ comme origine des temps (t = 0), déterminer l’équation horaire de mouvement du point M.

Réponses

1. trajectoire rectiligne uniforme.

2. Vm= M0M7/7τ=14x0,01x2/7x40x0,001=0,28/0,28=1,0m/s

Remarque : tenir compte de l'échelle: 

la distance réelle = distance sur l'enregistrement x1/Echelle

3. V2=M1M3/2τ=4.2.0,01/80.0,001

        =0,08/0,08=1,0 m/s

V5=V6=V2=1,0 m/s

4. 

5. Le point M a un mouvement rectiligne uniforme, car sa trajectoire est rectiligne et sa vitesse est constante

6. x(t) = V.t+x0= 1.t+0,08 (m)           ( car V=1,0m/s et x0=x(0)= x(M2)= 4.2.0,01=0,08m)

Exercice d'application 2

Un mobile M effectue le trajet entre A   et  D  en passant par les points B  et  C  comme l'indique la figure suivante :

1)            Compléter le tableau suivant en déterminant la nature de la trajectoire ainsi que le type de mouvement correspondant pour chaque partie du trajet:

2) a) Le mobile parcourt la distance AB=340m en Δt₁=20s. Déterminer sa vitesse moyenne V₁sur le trajet AB.

 b) Le mobile effectue le parcours entre B et C avec une vitesse moyenne V₂=15.7m.s⁻¹ en Δt₂=30s.Déterminer la distance du parcours BC.

 c) Le mobile parcourt la distance CD=143m avec une vitesse moyenne V₃=14.3m.s⁻¹. Déterminer la durée Δt₃ de ce parcours CD.

 3) En déduire la nature du mouvement du mobile sur tout le trajet entre A et D, en justifiant votre réponse.

 4) Calculer la vitesse moyenne Vm du mobile sur tout le trajet entre A  et D

Correction exercice 2

1. Complétons le tableau:

2.a.La vitesse moyenne V1 sur le trajet AB:

2.b. Déterminons la distance du parcours BC:

2.c. Déterminons la durée Δt₃ de ce parcours CD.

3. La nature du mouvement du mobile sur tout le trajet entre A et D et justification:

Entre A et D , la trajectoire n'est pas rectiligne et n'est pas circulaire, c'est une courbe.Le mouvement du mobile sur tout le trajet  entre A et D est curviligne.

4. La vitesse moyenne du mobile entre A et D est 

Exercice3:

Un automobiliste part de la ville de Casablanca à t₀= 8h10 min et se dirige vers la ville Rabat située à la distance D=80 km. A mi-parcours, il constate qu’il est t₁ = 8h35 min. Il calcule alors sa vitesse moyenne V_1m. Lorsqu’il arrive à Rabat, à la date t₂ = 8h55 min, il calcule à nouveau sa vitesse moyenne V_2m pour la deuxième moitié du parcours.

 1) Déterminer les valeurs V_1m et V_2m (en km/h)

 2) Déterminer la vitesse moyenne V_m au cours de son parcours.

3) L’automobiliste pense que sur l’ensemble du parcours, sa vitesse moyenne vaut

V_m = (V_1m+V_2m)/2=108 km/h. Etes-vous d’accord avec lui?

Correction de l'exercice3

1)V_1m=(D/2)/(t₁-t₀)=40/(25/60)=96mm/h

V_2m=(D/2)/(t₂-t₁)=40/(20/60)=120km/h

2) V_m= D/(t₂-t₀)=40/(8h55-8h10)=40/45=106,667≈107km/h

3) Non, la vitesse moyenne est D/∆t=107km/h

Exercice4:

Un camion C1 quitte la ville de Marrakech (A)à 8h30min pour se rendre à la ville de Casablanca(B) avec une vitesse constante V₁=108km.h⁻¹ . Un autre camion C₂ quitte la ville de Casablanca (B) à 8h45mnh pour se rendre à la ville de Marrakech(A) avec une vitesse V₂ constante inconnue. La route est supposée rectiligne et la distance entre les deux villes est AB= 250km.

1. Calculer la durée et la distance parcourue par C₁ avant le départ de C₂.

2) En prenant comme origine des espaces (x=0) la ville de Casablanca (C) et comme origine des dates (t=0) l'instant de départ du camion C₂          

 2.1) Déterminer l'équation horaire x₁(t)  du camion C₁.

 2.2) Déterminer en fonction de V₂ l'équation horaire x₂(t) du camion C₂.

 3) À quelle date et à quelle heure le camion C₁ arrivera-t-il à sa destination?

 4) Quelle est la valeur de la vitesse V₂ du camion C₂ pour que les deux mobiles arrivent en même temps à destination?

 5) En supposant que V₂=80km.h^-1, en déduire:

 5.1) La date et l'heure de rencontre des deux camions.

 5.2) La position de rencontre.

 6) À quelles dates les deux camions sont-ils distants de 10km ? Commenter le résultat.

               

Correction de l'exercice4:

1) Calculons de la durée et la distance parcourue par le camion C₁ avant le départ du camion C₂.

La date de départ du camion C1 est t01= 8h30mn

La date de départ du camion C2 est t02= 8h45mn

 Soit ∆t=t02−t01=8h45mn-8h30mn=15mn  

Au bout de ce temps ∆t=15mn, le camion C1 aura parcourue une distance d1=v1. ∆t,  avec v1=108km.h⁻¹ =108/3,6=30 m/s  et ∆t=15mn=900s.                                                               d1=30.900=27000m=27km .                                                

  2) En prenant comme origine des espaces (x=0) la ville A(Marrakech) et comme origine des dates (t=0) l'instant de départ du camion C2.(heure= 9h)

 2.1) Déterminons l'équation horaire x1(t) du camion C1

 C1 est en mouvement rectiligne uniforme de vitesse V1 , donc x1(t)= V1.t+x01

X01=27000m ,c’est la position de C1 à l’instant de départ de C2 qui est pris comme origine des dates t=0 :     x1(t)= 30.t+27000 (m) et t(s)    

   2.2) Détermination en fonction de V2 l'équation horaire x2(t) du camion C2.

 C2 roule dans le sens inverse de l’axe ox, donc v2x=-v2 ,d’où : : x2(t) =−V2xt+x02

 Or, à t=0s, C2 se trouve au point B: x02=250km=250000m, donc, x2(t)=−V2.t+250000 (m)

 3) Déterminons La date t et l'heure d'arrivée t′ du camion C1 à sa destination.

 L'équation horaire du camion C1 s’exprime  : x1(t)= 30.t+27000 (m) et t(s).

Le camion C1 arrive à sa destination lorsque x2=250km=250000m ( abscisse de la ville B)

30.t+27000=250000 ; 30.t=250000-27000=223000 ; t=223000/30=7433,3s≈2h4mn(date)

L’heure d’arrivée est t’ telle que :t’- 8h45mn=2h4mn ;   t’=8h45mn+2h4mn=10h+(49)mn=10h49mn   

Donc t’=10h49mn (heure d’arrivée).

4) La valeur de la vitesse V₂ du camion C₂ pour que les deux mobiles arrivent en même temps à destination:

D'après l'équation horaire du camion C1: x1(t)=V1. t +x01=30.t+27000. l'arrivée à destination(point B) donne: x1(t)=250000m. donc 250000=30.t+27000;   t=(250000-27000)/30=7433,3s

L'équationn horaire du camion C2 s'exprime: x2(t)=-V2.t+250000 L'arrivée à destination(point A) donne: x2(t)=0 donc 0= −V2.t+250000;  V2.t=250000;  V2=250000/t=250000/7433,3=33,63m/s

V2=33,63.3,6=121,07km/h⋍121km/h

5)5.1-La date et l'heure de rencontre des deux camions.

Lorsque les deux camions se rencontrent ona x1(t)=x2(t) ⇒ v1t+x01=v2t+x02

30t+27000=-33,63t+250000 ⇒ (30+33,63)t=250000-27000 ⇒ 63,63t=223000

date de rencontre: t=223000/63,63=3504,6 s ⋍58mn25s⋍58mn

heure de rencontre: t'= 58mn+8h45mn=9h43mn (l'origine des dates t=0 est pris à 8h45mn)

5.2) lieu de rencontre: x=x1=x2= 30.3504,6+27000=132138m⋍132km

6) les dates pour les quelles la distance entre les deux camions est 10km

d=lx1-x2|=10km=10000m⇒ x1-x2=1000m ou x1-x2=-10000m

x1-x2= (30t+27000)-(-33,63t+250000)=(30+33,63)t+(27000-250000)=63,6t-223000

date1:x1-x2=10000m  ⇒  63,6t1-223000=10000⇒t1=3663,5s=1h1mn

date2: x1-x2=-10000 ⇒ 63,6.t2-223000=-10000 ⇒ t2=3349,1s=55mn19s⋍56mn