Energie potentielle de pesanteur – Energie mécanique

L’eau du barrage stocke une énergie énorme qui est utilisée pour produire de l’électricité, appelée énergie potentielle de pesanteur . 1) En...

L’eau du barrage stocke une énergie énorme qui est utilisée pour produire de l’électricité, appelée énergie potentielle de pesanteur.

1) Energie potentielle de pesanteur Epp :

L'énergie potentielle de pesanteur d'un corps solide dans le champ de pesanteur est l'énergie que le corps possède à cause de sa position par rapport à la terre, et son symbole est  son unité (en S.I) est : joule J. La source de cette énergie est l'interaction entre le corps et la terre.

1.1- Expression de l’énergie potentielle de pesanteur Epp 

Epp = m.g.z + C   

Epp: énergie potentielle de pesanteur (J) .
 z : ordonné du centre de gravité G du solide dans l’axe Oz orienté vers le haut .(m)
C : constante qui dépend de l’état de référence pour lequel l’énergie potentielle est considérée comme nulle.(J)

1.2- Etat de référence et autres expressions

C’est le plan horizontal ou l’énergie potentielle est nulle.

Il permet de déterminer la constante C.                    

      


si le niveau de référence coïncide avec l’origine
 de l’axe(niveau(1)),alors Epp=0 pour z=0
 0=m.g.0+C ⇒C=0 d’où Epp=m.g.z

      si le niveau de référence ne coïncide pas avec l’origine
 de l’axe(niveau(2)),alors Epp=0 pour z=z₀
0=m.g.z₀+C ⇒ C=- m.g.z₀   d’où Epp = m.g.z-m.g.z₀=m.g.(z-z₀)

3 cas peuvent se présenter si on choisit le niveau z=z₀ comme référence :

z>z₀   ⇒ z-z₀=h ⇒ Epp = m.g.h > 0

z< z0 ⇒ z-z₀=-h ⇒ Epp = -m.g.h<0

z=z0 ⇒ z-z₀= 0 ⇒ Epp = 0

1.3- Variation de l’énergie potentielle de pesanteur Epp 

Dans le cas où l’axe (OZ) est orienté vers le haut.

La variation de l’énergie potentielle de pesanteur d’un corps est :

𝜟𝑬𝒑𝒑=𝑬𝒑𝒑(𝑩)− 𝑬𝒑𝒑(𝑨)=𝒎𝒈(𝒛𝑩−𝒛𝑨)

Le travail de son poids 𝑷⃗ lors du déplacement AB est :

𝑾𝐀→𝐁(𝑷⃗ )=𝒎𝒈(𝒛𝑨−𝒛𝑩). Donc :

En cas de descente : 𝒛𝑩<𝒛𝑨. 𝜟𝑬𝒑𝒑<𝟎 ⇔ 𝑬𝒑𝒑𝑩<𝑬𝒑𝒑𝑨, l’énergie potentielle de pesanteur diminue, et le travail du poids 𝑷⃗ est moteur.

En cas de montée : 𝒛𝑩>𝒛𝑨. 𝜟𝑬𝒑𝒑>𝟎 ⇔ 𝑬𝒑𝒑𝑩>𝑬𝒑𝒑𝑨,

l’énergie potentielle de pesanteur augmente, et le travail du poids 𝑷⃗ est résistant.

2) Energie mécanique

2.1- Expression de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un corps est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur.

E_m=E_c+E_pp

_Remarque:

• Dans le cas d’un corps solide en translation :   Em= 1/2.mv²+mgz+C  (c=constante)
• Dans le cas d’un solide en rotation : Em= 1/2.J∆.ω²+mgz+C  (c=constante)

2.2- conservation de l’énergie mécanique :

a-En absence de frottements:  si la seule force qui travaille est le poids, alors l’énergie mécanique est constante(Em=Ec+Epp=constante). Il y a tranformation de l’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique et l’inverse, sans qu’il y a perte d’énergie. On dit que Em se conserve. Le poids est force conservative.

ΔE_m=E_m2-E_m1=(Ec₂+Epp₂) – (Ec₁+Epp₁)= (Ec₂-Ec₁)+(Epp₂-Epp₁)=ΔEc+ΔEpp=w(P) - w(P)=0

ΔEm=0   ⇒ E_m=constante

• Exemple1:Chute libre d'un corps d'une position A à une position B

• Exemple2: Glissement d'un corps solide sur un plan incliné sans frottements:

b) frottements non négligeables:

la variation de l’énergie mécanique en présence de frottements est égale au, travail des forces de frottements. l’énergie mécanique diminue. On repren l'exemple du glissement d'un corps sur plan incliné en présence de frottements.

Exercice.1 : corps sur plan incliné

Un corps( S ) d masse m= 600 g est    abandonné, sans vitesse initiale,du sommet A d’un planche inclinée AB= L= 80 cm. On prend le plan horizontal

passant par B comme niveau de référence de l’énergie potentielle de pesanteur .

On prend : g = 10 N/Kg et α=30°. Le corps S est dans sa position initiale en A.

Exprimer et calculer :

1.1. Son énergie cinétique E_CA.

1.2. Son énergie potentielle de pesanteur E_PPA.

1.3. Son énergie mécanique E_mA

2. Les forces de frottement sont négligeables :

2.1. L’énergie mécanique du corps (S) est-elle conservée ?

2.2. Exprimer et calculer l’énergie potentielle E_PPB  de (S) en B.

2.3. Exprimer et calculer l’énergie cinétique de (S) en B et déduire sa vitesse V_B en B.

3. En réalité les forces de frottement ne sont pas négligeable et et la vitesse en B est 2,0 m/s.

3.1. Montrer que la variation de l’E.M. est égale au travail des forces de frottement le long du trajet AB.

3.2. Calculer le travail des forces de frottement le long de AB et déduire l’intensité f des forces de frottements sachant qu’elle est constante le long du trajet AB

3.3. quelle est la valeur de l’énergie thermique dissipée lors du trajet AB ?

Correction de l’exercice.1

1.1.        E_CA=1/2.m.V²_A=0

1.2.        E_PPA=m.g.h_A=m.g.AB.sinα=m.g.L.sinα=0,6.0,8.10.0,5=2,4J

1.3.        E_mA=E_CA+E_PPA=0+2,4=2,4J

2.1.       Oui l’énergie mécanique se conserve en absence de frottements.

2.2.       E_PPB=m.g.hB= 0 (h_A=0 c’est le niveau de l’énergie potentielle)

2.3.      EmA=EmB (conservation de l’énergie mécanique)

E_CA+E_PPA=E_CB+E_PPB       E_CB= E_CA+E_PPA-E_PPB= 0+E_PPA-0=E_PPB=2,4J

½.m.V_B²=E_PPB     V_B=√2.E_PPB/m=(2.2,4/0,6)^1/2=2,8J

3.1. ΔEm=E_mB-E_mA= (E_CB+E_PPB) - (E_CA+E_PPA)  =(E_CB -E_CA) + (E_PPB -E_PPA)= ΔE_C+ΔE_PP

 Exercice.2:Pendule simple

Un pendule est constitué d’une petite boule          

métallique de masse m = 80g, suspendue à un fil

inextensible de masse négligeable et de longueur

 L = 1m. Le fil est accroché en un point fixe O et

les mouvements du pendule s’effectuent dans

un plan vertical. Le fil du pendule étant initialement vertical, on l’écarte de cette position d’un angle θ₀=45°puis on abandonne l’ensemble sans vitesse initiale. (position 1) On néglige toutes les forces de frottement. g=10N/Kg

1.      Justifier la conservation de l’énergie mécanique pour la boule du pendule.

2.      Déterminer la valeur V₂ de la vitesse de la boule lorsqu’elle passe par la position

verticale (position 2).

3.      La position intermédiaire du pendule est définie par l’angle θ qu’il forme avec la verticale (voir figure 1) ; la valeur de la vitesse   de la boule est alors V.

On fait l’hypothèse que l’énergie potentielle de pesanteur est nulle dans la position la plus basse que le pendule peut occuper (position 2).

En appliquant la conservation de l’énergie mécanique sur la boule, en déduire

la formule littérale donnant la valeur V de la vitesse en fonction de θ, θ₀, g et L . Faire l’application numérique pour θ=25°

Correction exercice2

1.les frottements sont négligeables et la seule force qui travaille est le poids de la boule qui est une force conservative, donc l’énergie mécanique de la boule se conserve.

2. l’énergie mécanique se conserve

Em₁=Em₂      Ec₁+Epp₁=Ec₂+Epp₂

0+mgh₁=Ec₂+0

Ec2=mgh₁=mg(L-Lcosθ)=mgL(1-cosθ₀)     ½.m.V²₂=mgL(1-cosθ₀)     v₂=(2gL(1-cosθ₀)^1/2

A.N: V₂=(2.10.1.(1-cos45°))^1/2=2,4 ms^-1

3. Ecrivons la conservation de l’énergie mécanique entre la position θ₀ et la position θ

Em1=Em     Ec1+Epp1=Ec +Epp       0+ mgl(1-cosθ₀)= Ec+ mgL(1-cosθ)

Ec= mgL(1-cosθ₀)-mgL(1-cosθ)=mgL(cosθ-cosθ₀)   ½.m V²=mgL(cosθ-cosθ₀)  

V=(2gL(cosθ-cosθ₀) )^1/2     A.N: V=[2.10.1.(cos25°-cos45°)]^1/2=2m.s^-1

^Exercice3:

Une balle de masse m = 200 g est lance verticalement vers le haut avec une vitesse de valeur 6,0 m.s^-1 à partir d'un point situe à 1,0 m du sol.

1. Calculer les énergies potentielle, cinétique et mécanique de la balle a l'état initial.

2. Calculer l'altitude maximale de la balle lors de ce lancé.

3. Calculer la vitesse de la balle au moment où elle retombe sur le sol.

On donne g=10m.s^-2et on choisit la surface de la terre comme état de référence de l’énergie potentielle

de pesanteur.(E_pp=0)

^{Correction de l'exercice 3}

1) A l’état initial :              Energie potentielle de pesanteur :    Epp= mgz+Epp₀

A la surface de la terre :(état de référence Epp=0 ; z=0)   Epp(z=0)=0,  donc Epp0=0 d’où Epp=mgz

A l’état initial V=V₀=6,0 m/s et zi=1m    Eppi=mgzi=0,2.10.1=2J

Energie cinétique: Eci=1/mv₀²=0,5.0,2.62=3,6J

Energie mécanique: Emi=Eci+Eppi=2+3,6=5,6J

2) Calculons l'altitude maximale de la balle lors de ce lancé.

Méthode1 : la seule force qui travaille est le poids de la balle, donc on conservation de l’énergie mécanique entre la date de lacée et la date ou la balle arrive à sa hauteur maximale :

Emi=EmF        Eci+Eppi=EcF+EppF     Emi=1/2.m VF2+mghF

Emi= 0+mghF   d’où hF= Emi/mg=5,6/(0,2.10)=2,8m

Méthode2 : Théorème de l’énergie cinétique entre l’état initial( date de lancée)n et date ou l’altitude est maximale :

∆Ec=W(P ⃗)    ½.mv_F²-1/2.m.v_i²=-mgh              V_F=0m/s

0-1/2. m. v_i²=-mgh donc: h= v_i²/(2.g)            

h= 6²/2.10=36/20=1,8m       

l’altitude maximale par rapport au sol est :  hmax=1+,18=2,8m

3)Calcul de la vitesse de la balle lorsqu’elle retombe au sol :

Conservation de l’énergie mécanique : Em1=Em2     Ec1+Epp1=EC2+Epp2

Ec1=1/2.m.V12=0   ;  Epp1=mgZ1=0,2.10.2,8=5,6J  ;      EC2=1/2.m.V22  ; Epp1=mgz2=0

0+Epp1=1/2.m.V22  +0  donc:   V22=2.Epp1/m=2.5,6/0,2=56m2/s2;  V2=7,48m/s